Integral de 6dx/(x-2)(x-4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x - 4\right) \frac{6}{x - 2} = 6 - \frac{12}{x - 2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 6\, dx = 6 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{12}{x - 2}\right)\, dx = - 12 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

         1. que $u = x - 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 12 \log{\left(x - 2 \right)}$

      El resultado es: $6 x - 12 \log{\left(x - 2 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x - 4\right) \frac{6}{x - 2} = \frac{6 x - 24}{x - 2}$

   2. que $u = 6 x$.

      Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u - 24}{u - 12}\, du$

      1. que $u = u - 12$.

         Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u - 12}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u - 12}{u} = 1 - \frac{12}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{12}{u}\right)\, du = - 12 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- 12 \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $u - 12 \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $u - 12 \log{\left(u - 12 \right)} - 12$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $6 x - 12 \log{\left(6 x - 12 \right)} - 12$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x - 4\right) \frac{6}{x - 2} = \frac{6 x}{x - 2} - \frac{24}{x - 2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{6 x}{x - 2}\, dx = 6 \int \frac{x}{x - 2}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{x - 2} = 1 + \frac{2}{x - 2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

               1. que $u = x - 2$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x - 2 \right)}$

            El resultado es: $x + 2 \log{\left(x - 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 x + 12 \log{\left(x - 2 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{24}{x - 2}\right)\, dx = - 24 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

         1. que $u = x - 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 24 \log{\left(x - 2 \right)}$

      El resultado es: $6 x + 12 \log{\left(x - 2 \right)} - 24 \log{\left(x - 2 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $6 x - 12 \log{\left(x - 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$6 x - 12 \log{\left(x - 2 \right)}+ \mathrm{constant}$