Integral de (ln(5x)+1)/(x^1/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 \log{\left(u^{2} \right)} + 2 + 2 \log{\left(5 \right)}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 \log{\left(u^{2} \right)}\, du = 2 \int \log{\left(u^{2} \right)}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u^{2} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{2}{u}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 2\, du = 2 u$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 u \log{\left(u^{2} \right)} - 4 u$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 2\, du = 2 u$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 2 \log{\left(5 \right)}\, du = 2 u \log{\left(5 \right)}$

         El resultado es: $2 u \log{\left(u^{2} \right)} - 2 u + 2 u \log{\left(5 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} \log{\left(5 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\log{\left(5 x \right)} + 1}{\sqrt{x}} = \frac{\log{\left(x \right)} + 1 + \log{\left(5 \right)}}{\sqrt{x}}$

   2. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)} + 2 + 2 \log{\left(5 \right)}}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)} + 2 + 2 \log{\left(5 \right)}}{u^{2}}\, du = - \int \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)} + 2 + 2 \log{\left(5 \right)}}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)} + 2 + 2 \log{\left(5 \right)}}{u^{2}} = \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}} + \frac{2}{u^{2}} + \frac{2 \log{\left(5 \right)}}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{2}{u}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u} + \frac{4}{u}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2 \log{\left(5 \right)}}{u^{2}}\, du = 2 \log{\left(5 \right)} \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \log{\left(5 \right)}}{u}$

            El resultado es: $- \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u} - \frac{2 \log{\left(5 \right)}}{u} + \frac{2}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u} - \frac{2}{u} + \frac{2 \log{\left(5 \right)}}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} \log{\left(5 \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\log{\left(5 x \right)} + 1}{\sqrt{x}} = \frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

         $\int \left(- \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\, du = - 2 \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{2}{u}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u} - \frac{4}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 4 \sqrt{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\log{\left(5 \right)}}{\sqrt{x}}\, dx = \log{\left(5 \right)} \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \sqrt{x} \log{\left(5 \right)}$

      El resultado es: $2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} \log{\left(5 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(5 \right)}\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(5 \right)}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(5 \right)}\right)+ \mathrm{constant}$