Integral de sqtr(2(x^2)-4)/xdx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- \sqrt{2} du$:

      $\int \left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{-2 + \frac{1}{u^{2}}}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sqrt{-2 + \frac{1}{u^{2}}}}{u}\, du = - \sqrt{2} \int \frac{\sqrt{-2 + \frac{1}{u^{2}}}}{u}\, du$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\sqrt{u^{2} - 2}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\sqrt{u^{2} - 2}}{u}\, du = - \int \frac{\sqrt{u^{2} - 2}}{u}\, du$

               TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(2)*sec(_theta), rewritten=sqrt(2)*tan(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=sqrt(2), other=tan(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=sec(_theta)**2 - 1, substep=AddRule(substeps=[TrigRule(func='sec**2', arg=_theta, context=sec(_theta)**2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=-1, context=-1, symbol=_theta)], context=sec(_theta)**2 - 1, symbol=_theta), context=tan(_theta)**2, symbol=_theta), context=sqrt(2)*tan(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(_u < sqrt(2)) & (_u > -sqrt(2)), context=sqrt(_u**2 - 2)/_u, symbol=_u)

               Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{u^{2} - 2}}{2} - \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{u} \right)}\right) & \text{for}\: u > - \sqrt{2} \wedge u < \sqrt{2} \end{cases}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \begin{cases} \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{-2 + \frac{1}{u^{2}}}}{2} - \operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} u \right)}\right) & \text{for}\: u > \frac{\sqrt{2}}{2} \vee u < - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{2} \left(\begin{cases} \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{-2 + \frac{1}{u^{2}}}}{2} - \operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} u \right)}\right) & \text{for}\: u > \frac{\sqrt{2}}{2} \vee u < - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}\right)$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\sqrt{2} \left(\begin{cases} \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x^{2} - 2}}{2} - \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{x} \right)}\right) & \text{for}\: \left(x > 0 \wedge x < \sqrt{2}\right) \vee \left(x > - \sqrt{2} \wedge x < 0\right) \end{cases}\right)$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt{2 x^{2} - 4}}{x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{x^{2} - 2}}{x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sqrt{2} \sqrt{x^{2} - 2}}{x}\, dx = \sqrt{2} \int \frac{\sqrt{x^{2} - 2}}{x}\, dx$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(2)*sec(_theta), rewritten=sqrt(2)*tan(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=sqrt(2), other=tan(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=sec(_theta)**2 - 1, substep=AddRule(substeps=[TrigRule(func='sec**2', arg=_theta, context=sec(_theta)**2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=-1, context=-1, symbol=_theta)], context=sec(_theta)**2 - 1, symbol=_theta), context=tan(_theta)**2, symbol=_theta), context=sqrt(2)*tan(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x < sqrt(2)) & (x > -sqrt(2)), context=sqrt(x**2 - 2)/x, symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{2} \left(\begin{cases} \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x^{2} - 2}}{2} - \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{x} \right)}\right) & \text{for}\: x > - \sqrt{2} \wedge x < \sqrt{2} \end{cases}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \sqrt{2 x^{2} - 4} - 2 \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{x} \right)} & \text{for}\: \left(x > 0 \wedge x < \sqrt{2}\right) \vee \left(x > - \sqrt{2} \wedge x < 0\right) \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \sqrt{2 x^{2} - 4} - 2 \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{x} \right)} & \text{for}\: \left(x > 0 \wedge x < \sqrt{2}\right) \vee \left(x > - \sqrt{2} \wedge x < 0\right) \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \sqrt{2 x^{2} - 4} - 2 \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{x} \right)} & \text{for}\: \left(x > 0 \wedge x < \sqrt{2}\right) \vee \left(x > - \sqrt{2} \wedge x < 0\right) \end{cases}+ \mathrm{constant}$