Integral de (2x+1)/sgr(x^2-2x+3)dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 1}{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 3\right)^{2}} = \frac{2 x + 1}{x^{4} - 4 x^{3} + 10 x^{2} - 12 x + 9}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 1}{x^{4} - 4 x^{3} + 10 x^{2} - 12 x + 9} = \frac{2 x}{x^{4} - 4 x^{3} + 10 x^{2} - 12 x + 9} + \frac{1}{x^{4} - 4 x^{3} + 10 x^{2} - 12 x + 9}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x}{x^{4} - 4 x^{3} + 10 x^{2} - 12 x + 9}\, dx = 2 \int \frac{x}{x^{4} - 4 x^{3} + 10 x^{2} - 12 x + 9}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\frac{x - 3}{4 x^{2} - 8 x + 12} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \left(x - 3\right)}{4 x^{2} - 8 x + 12} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{4}$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\frac{x - 1}{4 x^{2} - 8 x + 12} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{8}$

      El resultado es: $\frac{2 \left(x - 3\right)}{4 x^{2} - 8 x + 12} + \frac{x - 1}{4 x^{2} - 8 x + 12} + \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{8}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 1}{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 3\right)^{2}} = \frac{2 x}{x^{4} - 4 x^{3} + 10 x^{2} - 12 x + 9} + \frac{1}{x^{4} - 4 x^{3} + 10 x^{2} - 12 x + 9}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x}{x^{4} - 4 x^{3} + 10 x^{2} - 12 x + 9}\, dx = 2 \int \frac{x}{x^{4} - 4 x^{3} + 10 x^{2} - 12 x + 9}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\frac{x - 3}{4 x^{2} - 8 x + 12} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \left(x - 3\right)}{4 x^{2} - 8 x + 12} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{4}$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\frac{x - 1}{4 x^{2} - 8 x + 12} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{8}$

      El resultado es: $\frac{2 \left(x - 3\right)}{4 x^{2} - 8 x + 12} + \frac{x - 1}{4 x^{2} - 8 x + 12} + \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{8}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{6 x + 3 \sqrt{2} \left(x^{2} - 2 x + 3\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(x - 1\right)}{2} \right)} - 14}{8 \left(x^{2} - 2 x + 3\right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{6 x + 3 \sqrt{2} \left(x^{2} - 2 x + 3\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(x - 1\right)}{2} \right)} - 14}{8 \left(x^{2} - 2 x + 3\right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{6 x + 3 \sqrt{2} \left(x^{2} - 2 x + 3\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(x - 1\right)}{2} \right)} - 14}{8 \left(x^{2} - 2 x + 3\right)}+ \mathrm{constant}$