Integral de sqrt(1+(sqrt(x-x^2)/x)^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt{\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + x}}{x}\right)^{2} + 1} = \sqrt{\frac{1}{x}}$

   2. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = - \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = - \frac{2}{\sqrt{u}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{\sqrt{u}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{x}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt{\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + x}}{x}\right)^{2} + 1} = \sqrt{\frac{1}{x}}$

   2. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = - \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = - \frac{2}{\sqrt{u}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{\sqrt{u}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{x}}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{x}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{x}}}+ \mathrm{constant}$