Sr Examen

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Integral de (x^2-2x+3)lnx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
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 |  \x  - 2*x + 3/*log(x) dx
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0                           
01((x22x)+3)log(x)dx\int\limits_{0}^{1} \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 3\right) \log{\left(x \right)}\, dx
Integral((x^2 - 2*x + 3)*log(x), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      (ue3u2ue2u+3ueu)du\int \left(u e^{3 u} - 2 u e^{2 u} + 3 u e^{u}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e3u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}.

          Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=3uu = 3 u.

            Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

            eu3du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          e3u3du=e3udu3\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}

          1. que u=3uu = 3 u.

            Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

            eu3du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: e3u9\frac{e^{3 u}}{9}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (2ue2u)du=2ue2udu\int \left(- 2 u e^{2 u}\right)\, du = - 2 \int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            e2u2du=e2udu2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: ue2u+e2u2- u e^{2 u} + \frac{e^{2 u}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          3ueudu=3ueudu\int 3 u e^{u}\, du = 3 \int u e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 3ueu3eu3 u e^{u} - 3 e^{u}

        El resultado es: ue3u3ue2u+3ueue3u9+e2u23eu\frac{u e^{3 u}}{3} - u e^{2 u} + 3 u e^{u} - \frac{e^{3 u}}{9} + \frac{e^{2 u}}{2} - 3 e^{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x3log(x)3x39x2log(x)+x22+3xlog(x)3x\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} - x^{2} \log{\left(x \right)} + \frac{x^{2}}{2} + 3 x \log{\left(x \right)} - 3 x

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ((x22x)+3)log(x)=x2log(x)2xlog(x)+3log(x)\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 3\right) \log{\left(x \right)} = x^{2} \log{\left(x \right)} - 2 x \log{\left(x \right)} + 3 \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ue3udu\int u e^{3 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e3u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}.

          Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=3uu = 3 u.

            Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

            eu3du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          e3u3du=e3udu3\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}

          1. que u=3uu = 3 u.

            Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

            eu3du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: e3u9\frac{e^{3 u}}{9}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x3log(x)3x39\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (2xlog(x))dx=2xlog(x)dx\int \left(- 2 x \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ue2udu\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            e2u2du=e2udu2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log(x)2x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log(x)+x22- x^{2} \log{\left(x \right)} + \frac{x^{2}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        3log(x)dx=3log(x)dx\int 3 \log{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            1dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: 3xlog(x)3x3 x \log{\left(x \right)} - 3 x

      El resultado es: x3log(x)3x39x2log(x)+x22+3xlog(x)3x\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} - x^{2} \log{\left(x \right)} + \frac{x^{2}}{2} + 3 x \log{\left(x \right)} - 3 x

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv(x)=(x22x)+3\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 2 x\right) + 3.

      Entonces du(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integramos término a término:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (2x)dx=2xdx\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: x2- x^{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          3dx=3x\int 3\, dx = 3 x

        El resultado es: x33x2+3x\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x33x2+3xx=x23x+3\frac{\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x}{x} = \frac{x^{2}}{3} - x + 3

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        x23dx=x2dx3\int \frac{x^{2}}{3}\, dx = \frac{\int x^{2}\, dx}{3}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: x39\frac{x^{3}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (x)dx=xdx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x22- \frac{x^{2}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        3dx=3x\int 3\, dx = 3 x

      El resultado es: x39x22+3x\frac{x^{3}}{9} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ((x22x)+3)log(x)=x2log(x)2xlog(x)+3log(x)\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 3\right) \log{\left(x \right)} = x^{2} \log{\left(x \right)} - 2 x \log{\left(x \right)} + 3 \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ue3udu\int u e^{3 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e3u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}.

          Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=3uu = 3 u.

            Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

            eu3du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          e3u3du=e3udu3\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}

          1. que u=3uu = 3 u.

            Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

            eu3du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: e3u9\frac{e^{3 u}}{9}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x3log(x)3x39\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (2xlog(x))dx=2xlog(x)dx\int \left(- 2 x \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ue2udu\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            e2u2du=e2udu2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log(x)2x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log(x)+x22- x^{2} \log{\left(x \right)} + \frac{x^{2}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        3log(x)dx=3log(x)dx\int 3 \log{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            1dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: 3xlog(x)3x3 x \log{\left(x \right)} - 3 x

      El resultado es: x3log(x)3x39x2log(x)+x22+3xlog(x)3x\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} - x^{2} \log{\left(x \right)} + \frac{x^{2}}{2} + 3 x \log{\left(x \right)} - 3 x

  2. Ahora simplificar:

    x(6x2log(x)2x218xlog(x)+9x+54log(x)54)18\frac{x \left(6 x^{2} \log{\left(x \right)} - 2 x^{2} - 18 x \log{\left(x \right)} + 9 x + 54 \log{\left(x \right)} - 54\right)}{18}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(6x2log(x)2x218xlog(x)+9x+54log(x)54)18+constant\frac{x \left(6 x^{2} \log{\left(x \right)} - 2 x^{2} - 18 x \log{\left(x \right)} + 9 x + 54 \log{\left(x \right)} - 54\right)}{18}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x(6x2log(x)2x218xlog(x)+9x+54log(x)54)18+constant\frac{x \left(6 x^{2} \log{\left(x \right)} - 2 x^{2} - 18 x \log{\left(x \right)} + 9 x + 54 \log{\left(x \right)} - 54\right)}{18}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                                 
 |                                 2          3                             3       
 | / 2          \                 x          x     2                       x *log(x)
 | \x  - 2*x + 3/*log(x) dx = C + -- - 3*x - -- - x *log(x) + 3*x*log(x) + ---------
 |                                2          9                                 3    
/                                                                                   
((x22x)+3)log(x)dx=C+x3log(x)3x39x2log(x)+x22+3xlog(x)3x\int \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 3\right) \log{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} - x^{2} \log{\left(x \right)} + \frac{x^{2}}{2} + 3 x \log{\left(x \right)} - 3 x
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-5050
Respuesta [src]
-47 
----
 18 
4718- \frac{47}{18}
=
=
-47 
----
 18 
4718- \frac{47}{18}
-47/18
Respuesta numérica [src]
-2.61111111111111
-2.61111111111111

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.