Integral de xe^-(5x+3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{- 5 x - 3} x = \frac{x e^{- 5 x}}{e^{3}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x e^{- 5 x}}{e^{3}}\, dx = \frac{\int x e^{- 5 x}\, dx}{e^{3}}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 5 x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = - 5 x$.

            Luego que $du = - 5 dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{5}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 5 x}}{5}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e^{- 5 x}}{5}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 5 x}\, dx}{5}$

         1. que $u = - 5 x$.

            Luego que $du = - 5 dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{5}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 5 x}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{- 5 x}}{25}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{3}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{- 5 x - 3} x = \frac{x e^{- 5 x}}{e^{3}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x e^{- 5 x}}{e^{3}}\, dx = \frac{\int x e^{- 5 x}\, dx}{e^{3}}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 5 x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = - 5 x$.

            Luego que $du = - 5 dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{5}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 5 x}}{5}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e^{- 5 x}}{5}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 5 x}\, dx}{5}$

         1. que $u = - 5 x$.

            Luego que $du = - 5 dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{5}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 5 x}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{- 5 x}}{25}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{3}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(5 x + 1\right) e^{- 5 x - 3}}{25}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(5 x + 1\right) e^{- 5 x - 3}}{25}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(5 x + 1\right) e^{- 5 x - 3}}{25}+ \mathrm{constant}$