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Resolución de integrales/ e^(-2x)/ sin(x)/ xe^(-2x)sin(x)

Integral de xe^(-2x)sin(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo                  
  /                  
 |                   
 |     -2*x          
 |  x*E    *sin(x) dx
 |                   
/                    
0
∫0∞e−2xxsin⁡(x) dx\int\limits_{0}^{\infty} e^{- 2 x} x \sin{\left(x \right)}\, dx 
Integral((x*E^(-2*x))*sin(x), (x, 0, oo))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e−2xsin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

      1. Para el integrando e−2xsin⁡(x)e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}:

        que u(x)=sin⁡(x)u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=e−2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}.

        Entonces ∫e−2xsin⁡(x) dx=−∫(−e−2xcos⁡(x)2) dx−e−2xsin⁡(x)2\int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - \int \left(- \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx - \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{2}.

      2. Para el integrando −e−2xcos⁡(x)2- \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}:

        que u(x)=−cos⁡(x)2u{\left(x \right)} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} y que dv⁡(x)=e−2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}.

        Entonces ∫e−2xsin⁡(x) dx=∫(−e−2xsin⁡(x)4) dx−e−2xsin⁡(x)2−e−2xcos⁡(x)4\int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx - \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{4}.

      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

        5∫e−2xsin⁡(x) dx4=−e−2xsin⁡(x)2−e−2xcos⁡(x)4\frac{5 \int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx}{4} = - \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{4}

        Por lo tanto,

        ∫e−2xsin⁡(x) dx=−2e−2xsin⁡(x)5−e−2xcos⁡(x)5\int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - \frac{2 e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2e−2xsin⁡(x)5) dx=−2∫e−2xsin⁡(x) dx5\int \left(- \frac{2 e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{5}\right)\, dx = - \frac{2 \int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx}{5}

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

        1. Para el integrando e−2xsin⁡(x)e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}:

          que u(x)=sin⁡(x)u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=e−2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}.

          Entonces ∫e−2xsin⁡(x) dx=−∫(−e−2xcos⁡(x)2) dx−e−2xsin⁡(x)2\int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - \int \left(- \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx - \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{2}.

        2. Para el integrando −e−2xcos⁡(x)2- \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}:

          que u(x)=−cos⁡(x)2u{\left(x \right)} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} y que dv⁡(x)=e−2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}.

          Entonces ∫e−2xsin⁡(x) dx=∫(−e−2xsin⁡(x)4) dx−e−2xsin⁡(x)2−e−2xcos⁡(x)4\int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx - \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{4}.

        3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

          5∫e−2xsin⁡(x) dx4=−e−2xsin⁡(x)2−e−2xcos⁡(x)4\frac{5 \int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx}{4} = - \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{4}

          Por lo tanto,

          ∫e−2xsin⁡(x) dx=−2e−2xsin⁡(x)5−e−2xcos⁡(x)5\int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - \frac{2 e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: 4e−2xsin⁡(x)25+2e−2xcos⁡(x)25\frac{4 e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{25} + \frac{2 e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{25}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−e−2xcos⁡(x)5) dx=−∫e−2xcos⁡(x) dx5\int \left(- \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}\, dx}{5}

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

        1. Para el integrando e−2xcos⁡(x)e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}:

          que u(x)=cos⁡(x)u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=e−2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}.

          Entonces ∫e−2xcos⁡(x) dx=−∫e−2xsin⁡(x)2 dx−e−2xcos⁡(x)2\int e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}\, dx = - \int \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{2}\, dx - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}.

        2. Para el integrando e−2xsin⁡(x)2\frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{2}:

          que u(x)=sin⁡(x)2u{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} y que dv⁡(x)=e−2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}.

          Entonces ∫e−2xcos⁡(x) dx=∫(−e−2xcos⁡(x)4) dx+e−2xsin⁡(x)4−e−2xcos⁡(x)2\int e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx + \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}.

        3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

          5∫e−2xcos⁡(x) dx4=e−2xsin⁡(x)4−e−2xcos⁡(x)2\frac{5 \int e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}\, dx}{4} = \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}

          Por lo tanto,

          ∫e−2xcos⁡(x) dx=e−2xsin⁡(x)5−2e−2xcos⁡(x)5\int e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: −e−2xsin⁡(x)25+2e−2xcos⁡(x)25- \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{25} + \frac{2 e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{25}

    El resultado es: 3e−2xsin⁡(x)25+4e−2xcos⁡(x)25\frac{3 e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{25} + \frac{4 e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{25}

  3. Ahora simplificar:

    −(10xsin⁡(x)+5xcos⁡(x)+3sin⁡(x)+4cos⁡(x))e−2x25- \frac{\left(10 x \sin{\left(x \right)} + 5 x \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}}{25}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −(10xsin⁡(x)+5xcos⁡(x)+3sin⁡(x)+4cos⁡(x))e−2x25+constant- \frac{\left(10 x \sin{\left(x \right)} + 5 x \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}}{25}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−(10xsin⁡(x)+5xcos⁡(x)+3sin⁡(x)+4cos⁡(x))e−2x25+constant- \frac{\left(10 x \sin{\left(x \right)} + 5 x \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}}{25}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                             
 |                           /     -2*x                  -2*x\             -2*x      -2*x       
 |    -2*x                   |  2*e    *sin(x)   cos(x)*e    |   4*cos(x)*e       3*e    *sin(x)
 | x*E    *sin(x) dx = C + x*|- -------------- - ------------| - -------------- - --------------
 |                           \        5               5      /         25               25      
/
∫e−2xxsin⁡(x) dx=C+x(−2e−2xsin⁡(x)5−e−2xcos⁡(x)5)−3e−2xsin⁡(x)25−4e−2xcos⁡(x)25\int e^{- 2 x} x \sin{\left(x \right)}\, dx = C + x \left(- \frac{2 e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}\right) - \frac{3 e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{25} - \frac{4 e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{25}
Simplificar
Respuesta [src] 
4/25
425\frac{4}{25} 
=
= 
4/25
425\frac{4}{25} 
4/25

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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