Integral de xe^(-2x)sin(x) dx

Solución

Ha introducido [src]

 oo                  
  /                  
 |                   
 |     -2*x          
 |  x*E    *sin(x) dx
 |                   
/                    
0

$$\int\limits_{0}^{\infty} e^{- 2 x} x \sin{\left(x \right)}\, dx$$

Integral((x*E^(-2*x))*sin(x), (x, 0, oo))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
  1. Para el integrando $e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}$ :
    
    que $u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$ .
    
    Entonces $\int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - \int \left(- \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx - \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{2}$ .
  2. Para el integrando $- \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}$ :
    
    que $u{\left(x \right)} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$ .
    
    Entonces $\int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx - \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{4}$ .
  3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
    
    $\frac{5 \int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx}{4} = - \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{4}$
    
    Por lo tanto,
    
    $\int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - \frac{2 e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}$
Ahora resolvemos podintegral.
Integramos término a término:
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \left(- \frac{2 e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{5}\right)\, dx = - \frac{2 \int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx}{5}$
  1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
    1. Para el integrando $e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}$ :
      
      que $u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$ .
      
      Entonces $\int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - \int \left(- \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx - \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{2}$ .
    2. Para el integrando $- \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}$ :
      
      que $u{\left(x \right)} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$ .
      
      Entonces $\int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx - \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{4}$ .
    3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
      
      $\frac{5 \int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx}{4} = - \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto,
      
      $\int e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - \frac{2 e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}$
  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{25} + \frac{2 e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{25}$
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \left(- \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}\, dx}{5}$
  1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
    1. Para el integrando $e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}$ :
      
      que $u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$ .
      
      Entonces $\int e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}\, dx = - \int \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{2}\, dx - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}$ .
    2. Para el integrando $\frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{2}$ :
      
      que $u{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$ .
      
      Entonces $\int e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx + \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}$ .
    3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
      
      $\frac{5 \int e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}\, dx}{4} = \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto,
      
      $\int e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}$
  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{25} + \frac{2 e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{25}$
El resultado es: $\frac{3 e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{25} + \frac{4 e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{25}$
Ahora simplificar:

$- \frac{\left(10 x \sin{\left(x \right)} + 5 x \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}}{25}$
Añadimos la constante de integración:

$- \frac{\left(10 x \sin{\left(x \right)} + 5 x \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}}{25}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(10 x \sin{\left(x \right)} + 5 x \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}}{25}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                                             
 |                           /     -2*x                  -2*x\             -2*x      -2*x       
 |    -2*x                   |  2*e    *sin(x)   cos(x)*e    |   4*cos(x)*e       3*e    *sin(x)
 | x*E    *sin(x) dx = C + x*|- -------------- - ------------| - -------------- - --------------
 |                           \        5               5      /         25               25      
/

$$\int e^{- 2 x} x \sin{\left(x \right)}\, dx = C + x \left(- \frac{2 e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}\right) - \frac{3 e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)}}{25} - \frac{4 e^{- 2 x} \cos{\left(x \right)}}{25}$$

Simplificar

Respuesta [src]

4/25

$$\frac{4}{25}$$

4/25

$$\frac{4}{25}$$

4/25

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de xe^(-2x)sin(x) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

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