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Resolución de integrales/ x^2+x/ inxdx/ (x^2+x)sinxdx

Integral de (x^2+x)sinxdx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
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 |                    
 |  / 2    \          
 |  \x  + x/*sin(x) dx
 |                    
/                     
0
∫01(x2+x)sin⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(x^{2} + x\right) \sin{\left(x \right)}\, dx 
Integral((x^2 + x)*sin(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x2+x)sin⁡(x)=x2sin⁡(x)+xsin⁡(x)\left(x^{2} + x\right) \sin{\left(x \right)} = x^{2} \sin{\left(x \right)} + x \sin{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=−2xu{\left(x \right)} = - 2 x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=−2\operatorname{du}{\left(x \right)} = -2.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡(x)) dx=−2∫sin⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(x)2 \cos{\left(x \right)}

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x) dx\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)}

      El resultado es: −x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)−xcos⁡(x)+sin⁡(x)+2cos⁡(x)- x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} - x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x(x+1)u{\left(x \right)} = x \left(x + 1\right) y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=2x+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x + 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−2x−1u{\left(x \right)} = - 2 x - 1 y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−2\operatorname{du}{\left(x \right)} = -2.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2sin⁡(x)) dx=−2∫sin⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(x)2 \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)−xcos⁡(x)+sin⁡(x)+2cos⁡(x)+constant- x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} - x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)−xcos⁡(x)+sin⁡(x)+2cos⁡(x)+constant- x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} - x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                              
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 | / 2    \                                        2                             
 | \x  + x/*sin(x) dx = C + 2*cos(x) - x*cos(x) - x *cos(x) + 2*x*sin(x) + sin(x)
 |                                                                               
/
∫(x2+x)sin⁡(x) dx=C−x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)−xcos⁡(x)+sin⁡(x)+2cos⁡(x)\int \left(x^{2} + x\right) \sin{\left(x \right)}\, dx = C - x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} - x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.05.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-2 + 3*sin(1)
−2+3sin⁡(1)-2 + 3 \sin{\left(1 \right)} 
=
= 
-2 + 3*sin(1)
−2+3sin⁡(1)-2 + 3 \sin{\left(1 \right)} 
-2 + 3*sin(1)
Respuesta numérica [src] 
0.52441295442369
0.52441295442369

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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