Integral de exp(x)*(1+exp(-x)/(x^2)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\left(u^{2} + e^{u}\right) e^{- u}}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\left(u^{2} + e^{u}\right) e^{- u}}{u^{2}}\, du = - \int \frac{\left(u^{2} + e^{u}\right) e^{- u}}{u^{2}}\, du$

         1. que $u = - u$.

            Luego que $du = - du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{u^{2} e^{u} + 1}{u^{2}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u^{2} e^{u} + 1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{u^{2} e^{u} + 1}{u^{2}}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u^{2} e^{u} + 1}{u^{2}} = e^{u} + \frac{1}{u^{2}}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  El resultado es: $e^{u} - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u} + \frac{1}{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- e^{- u} - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $e^{- u} + \frac{1}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $e^{x} - \frac{1}{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 + \frac{e^{- x}}{x^{2}}\right) e^{x} = \frac{x^{2} e^{x} + 1}{x^{2}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2} e^{x} + 1}{x^{2}} = e^{x} + \frac{1}{x^{2}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      El resultado es: $e^{x} - \frac{1}{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 + \frac{e^{- x}}{x^{2}}\right) e^{x} = e^{x} + \frac{1}{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      El resultado es: $e^{x} - \frac{1}{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $e^{x} - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$e^{x} - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$