Integral de (arcsin^7(3x)-5x)/(sqrt(1-9x^2)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- 5 x + \operatorname{asin}^{7}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} = - \frac{5 x - \operatorname{asin}^{7}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{5 x - \operatorname{asin}^{7}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{5 x - \operatorname{asin}^{7}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{5 x - \operatorname{asin}^{7}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} = \frac{5 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} - \frac{\operatorname{asin}^{7}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{5 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}\, dx = 5 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}\, dx$

            1. que $u = 1 - 9 x^{2}$.

               Luego que $du = - 18 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{18}$:

               $\int \left(- \frac{1}{18 \sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{18}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{u}}{9}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 \sqrt{1 - 9 x^{2}}}{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\operatorname{asin}^{7}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{\operatorname{asin}^{7}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}\, dx$

            1. que $u = \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}$.

               Luego que $du = \frac{3 dx}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{u^{7}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{7}\, du = \frac{\int u^{7}\, du}{3}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{8}}{24}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\operatorname{asin}^{8}{\left(3 x \right)}}{24}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\operatorname{asin}^{8}{\left(3 x \right)}}{24}$

         El resultado es: $- \frac{5 \sqrt{1 - 9 x^{2}}}{9} - \frac{\operatorname{asin}^{8}{\left(3 x \right)}}{24}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \sqrt{1 - 9 x^{2}}}{9} + \frac{\operatorname{asin}^{8}{\left(3 x \right)}}{24}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- 5 x + \operatorname{asin}^{7}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} = - \frac{5 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} + \frac{\operatorname{asin}^{7}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{5 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}\right)\, dx = - 5 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}\, dx$

         1. que $u = 1 - 9 x^{2}$.

            Luego que $du = - 18 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{18}$:

            $\int \left(- \frac{1}{18 \sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{18}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{u}}{9}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \sqrt{1 - 9 x^{2}}}{9}$

      1. que $u = \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{3 dx}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{u^{7}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{7}\, du = \frac{\int u^{7}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{8}}{24}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\operatorname{asin}^{8}{\left(3 x \right)}}{24}$

      El resultado es: $\frac{5 \sqrt{1 - 9 x^{2}}}{9} + \frac{\operatorname{asin}^{8}{\left(3 x \right)}}{24}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5 \sqrt{1 - 9 x^{2}}}{9} + \frac{\operatorname{asin}^{8}{\left(3 x \right)}}{24}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 \sqrt{1 - 9 x^{2}}}{9} + \frac{\operatorname{asin}^{8}{\left(3 x \right)}}{24}+ \mathrm{constant}$