Sr Examen

Otras calculadoras

Resolución de integrales/ (2x+1)/ sin(x/2)/ (2x+1)*sin(x/2)

Integral de (2x+1)*sin(x/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |               /x\   
 |  (2*x + 1)*sin|-| dx
 |               \2/   
 |                     
/                      
0
∫01(2x+1)sin⁡(x2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(2 x + 1\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx 
Integral((2*x + 1)*sin(x/2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x+1)sin⁡(x2)=2xsin⁡(x2)+sin⁡(x2)\left(2 x + 1\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 2 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xsin⁡(x2) dx=2∫xsin⁡(x2) dx\int 2 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \int x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2cos⁡(x2)) dx=−2∫cos⁡(x2) dx\int \left(- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4sin⁡(x2)- 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −4xcos⁡(x2)+8sin⁡(x2)- 4 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 8 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      El resultado es: −4xcos⁡(x2)+8sin⁡(x2)−2cos⁡(x2)- 4 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 8 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=2x+1u{\left(x \right)} = 2 x + 1 y que dv⁡(x)=sin⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−4cos⁡(x2)) dx=−4∫cos⁡(x2) dx\int \left(- 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −8sin⁡(x2)- 8 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x+1)sin⁡(x2)=2xsin⁡(x2)+sin⁡(x2)\left(2 x + 1\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 2 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xsin⁡(x2) dx=2∫xsin⁡(x2) dx\int 2 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \int x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2cos⁡(x2)) dx=−2∫cos⁡(x2) dx\int \left(- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4sin⁡(x2)- 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −4xcos⁡(x2)+8sin⁡(x2)- 4 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 8 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      El resultado es: −4xcos⁡(x2)+8sin⁡(x2)−2cos⁡(x2)- 4 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 8 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −4xcos⁡(x2)+8sin⁡(x2)−2cos⁡(x2)+constant- 4 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 8 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−4xcos⁡(x2)+8sin⁡(x2)−2cos⁡(x2)+constant- 4 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 8 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                          
 |                                                           
 |              /x\               /x\        /x\          /x\
 | (2*x + 1)*sin|-| dx = C - 2*cos|-| + 8*sin|-| - 4*x*cos|-|
 |              \2/               \2/        \2/          \2/
 |                                                           
/
∫(2x+1)sin⁡(x2) dx=C−4xcos⁡(x2)+8sin⁡(x2)−2cos⁡(x2)\int \left(2 x + 1\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = C - 4 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 8 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
2 - 6*cos(1/2) + 8*sin(1/2)
−6cos⁡(12)+2+8sin⁡(12)- 6 \cos{\left(\frac{1}{2} \right)} + 2 + 8 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} 
=
= 
2 - 6*cos(1/2) + 8*sin(1/2)
−6cos⁡(12)+2+8sin⁡(12)- 6 \cos{\left(\frac{1}{2} \right)} + 2 + 8 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} 
2 - 6*cos(1/2) + 8*sin(1/2)
Respuesta numérica [src] 
0.569908937491388
0.569908937491388

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

    © Sr Examen – Калькулятор