Integral de sin(x)*e^x*x^2 dx

Ha introducido [src]

  1                
  /                
 |                 
 |          x  2   
 |  sin(x)*E *x  dx
 |                 
/                  
0

\int\limits_{0}^{1} x^{2} e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx

Integral((sin(x)*E^x)*x^2, (x, 0, 1))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x} \sin{\left(x \right)}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
  1. Para el integrando $e^{x} \sin{\left(x \right)}$ :
    
    que $u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$ .
    
    Entonces $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - \int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx$ .
  2. Para el integrando $e^{x} \cos{\left(x \right)}$ :
    
    que $u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$ .
    
    Entonces $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + \int \left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx$ .
  3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
    
    $2 \int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)}$
    
    Por lo tanto,
    
    $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

$\int 2 x \left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = 2 \int x \left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx$
1. Hay varias maneras de calcular esta integral.
  Método #1
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $x \left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right) = \frac{x e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{x e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int x e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x} \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
      
      Para el integrando $e^{x} \sin{\left(x \right)}$ :
      
      que $u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$ .
      
      Entonces $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - \int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx$ .
      
      Para el integrando $e^{x} \cos{\left(x \right)}$ :
      
      que $u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$ .
      
      Entonces $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + \int \left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx$ .
      
      Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
      
      $2 \int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)}$
      
      Por lo tanto,
      
      $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
      
      Para el integrando $e^{x} \sin{\left(x \right)}$ :
      
      que $u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$ .
      
      Entonces $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - \int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx$ .
      
      Para el integrando $e^{x} \cos{\left(x \right)}$ :
      
      que $u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$ .
      
      Entonces $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + \int \left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx$ .
      
      Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
      
      $2 \int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)}$
      
      Por lo tanto,
      
      $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{4} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{4}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
      
      Para el integrando $e^{x} \cos{\left(x \right)}$ :
      
      que $u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$ .
      
      Entonces $\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \cos{\left(x \right)} - \int \left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx$ .
      
      Para el integrando $- e^{x} \sin{\left(x \right)}$ :
      
      que $u{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$ .
      
      Entonces $\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} + \int \left(- e^{x} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx$ .
      
      Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
      
      $2 \int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}$
      
      Por lo tanto,
      
      $\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{4} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{4}$
      
      El resultado es: $- \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x \left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right)}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{4}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{x e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x} \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
      
      Para el integrando $e^{x} \cos{\left(x \right)}$ :
      
      que $u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$ .
      
      Entonces $\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \cos{\left(x \right)} - \int \left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx$ .
      
      Para el integrando $- e^{x} \sin{\left(x \right)}$ :
      
      que $u{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$ .
      
      Entonces $\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} + \int \left(- e^{x} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx$ .
      
      Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
      
      $2 \int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}$
      
      Por lo tanto,
      
      $\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{4} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{4}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
      
      Para el integrando $e^{x} \cos{\left(x \right)}$ :
      
      que $u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$ .
      
      Entonces $\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \cos{\left(x \right)} - \int \left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx$ .
      
      Para el integrando $- e^{x} \sin{\left(x \right)}$ :
      
      que $u{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$ .
      
      Entonces $\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} + \int \left(- e^{x} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx$ .
      
      Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
      
      $2 \int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}$
      
      Por lo tanto,
      
      $\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{4}$
      
      El resultado es: $\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x \left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right)}{2} + \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{4}$
    El resultado es: $\frac{x \left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right)}{2} - \frac{x \left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right)}{2} + \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{4}$
  Método #2
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $x \left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right) = \frac{x e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{x e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int x e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{x e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x e^{x} \sin{\left(x \right)}}{4} - \frac{x e^{x} \cos{\left(x \right)}}{4} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{4}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{x e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{x e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{x e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x e^{x} \sin{\left(x \right)}}{4} - \frac{x e^{x} \cos{\left(x \right)}}{4} + \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{4}$
    El resultado es: $- \frac{x e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{4}$
Por lo tanto, el resultado es: $x \left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right) - x \left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right) + \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$
Ahora simplificar:

$\frac{\sqrt{2} \left(- x^{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + x \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right) e^{x}}{2}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\sqrt{2} \left(- x^{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + x \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right) e^{x}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{2} \left(- x^{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + x \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right) e^{x}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                                                                                
 |                         /        x    x       \      / x                  x\     / x                  x\           x    x       
 |         x  2            |cos(x)*e    e *sin(x)|    2 |e *sin(x)   cos(x)*e |     |e *sin(x)   cos(x)*e |   cos(x)*e    e *sin(x)
 | sin(x)*E *x  dx = C + x*|--------- + ---------| + x *|--------- - ---------| - x*|--------- - ---------| - --------- - ---------
 |                         \    2           2    /      \    2           2    /     \    2           2    /       2           2    
/

\int x^{2} e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = C + x^{2} \left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right) - x \left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right) + x \left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right) - \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

1/2

\frac{1}{2}

=

1/2

\frac{1}{2}

1/2

Respuesta numérica [src]

0.5

0.5

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de sin(x)e^xx^2 dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2