Integral de (sin(t)^3)*sin(t)*cos(t)^2 dt
Solución
Solución detallada
-
Vuelva a escribir el integrando:
sin(t)sin3(t)cos2(t)=(21−2cos(2t))2(2cos(2t)+21)
-
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
-
que u=2t.
Luego que du=2dt y ponemos du:
∫(16cos3(u)−16cos2(u)−16cos(u)+161)du
-
Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫16cos3(u)du=16∫cos3(u)du
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos3(u)=(1−sin2(u))cos(u)
-
que u=sin(u).
Luego que du=cos(u)du y ponemos du:
∫(1−u2)du
-
Integramos término a término:
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫1du=u
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−u2)du=−∫u2du
-
Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Por lo tanto, el resultado es: −3u3
El resultado es: −3u3+u
Si ahora sustituir u más en:
−3sin3(u)+sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: −48sin3(u)+16sin(u)
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−16cos2(u))du=−16∫cos2(u)du
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos2(u)=2cos(2u)+21
-
Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(2u)du=2∫cos(2u)du
-
que u=2u.
Luego que du=2du y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2u)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(2u)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21du=2u
El resultado es: 2u+4sin(2u)
Por lo tanto, el resultado es: −32u−64sin(2u)
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−16cos(u))du=−16∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: −16sin(u)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫161du=16u
El resultado es: 32u−64sin(2u)−48sin3(u)
Si ahora sustituir u más en:
16t−48sin3(2t)−64sin(4t)
Método #2
-
Vuelva a escribir el integrando:
(21−2cos(2t))2(2cos(2t)+21)=8cos3(2t)−8cos2(2t)−8cos(2t)+81
-
Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫8cos3(2t)dt=8∫cos3(2t)dt
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos3(2t)=(1−sin2(2t))cos(2t)
-
que u=sin(2t).
Luego que du=2cos(2t)dt y ponemos du:
∫(21−2u2)du
-
Integramos término a término:
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21du=2u
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−2u2)du=−2∫u2du
-
Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Por lo tanto, el resultado es: −6u3
El resultado es: −6u3+2u
Si ahora sustituir u más en:
−6sin3(2t)+2sin(2t)
Por lo tanto, el resultado es: −48sin3(2t)+16sin(2t)
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−8cos2(2t))dt=−8∫cos2(2t)dt
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos2(2t)=2cos(4t)+21
-
Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(4t)dt=2∫cos(4t)dt
-
que u=4t.
Luego que du=4dt y ponemos 4du:
∫4cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=4∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
4sin(4t)
Por lo tanto, el resultado es: 8sin(4t)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21dt=2t
El resultado es: 2t+8sin(4t)
Por lo tanto, el resultado es: −16t−64sin(4t)
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−8cos(2t))dt=−8∫cos(2t)dt
-
que u=2t.
Luego que du=2dt y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2t)
Por lo tanto, el resultado es: −16sin(2t)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫81dt=8t
El resultado es: 16t−48sin3(2t)−64sin(4t)
Método #3
-
Vuelva a escribir el integrando:
(21−2cos(2t))2(2cos(2t)+21)=8cos3(2t)−8cos2(2t)−8cos(2t)+81
-
Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫8cos3(2t)dt=8∫cos3(2t)dt
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos3(2t)=(1−sin2(2t))cos(2t)
-
que u=sin(2t).
Luego que du=2cos(2t)dt y ponemos du:
∫(21−2u2)du
-
Integramos término a término:
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21du=2u
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−2u2)du=−2∫u2du
-
Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Por lo tanto, el resultado es: −6u3
El resultado es: −6u3+2u
Si ahora sustituir u más en:
−6sin3(2t)+2sin(2t)
Por lo tanto, el resultado es: −48sin3(2t)+16sin(2t)
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−8cos2(2t))dt=−8∫cos2(2t)dt
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos2(2t)=2cos(4t)+21
-
Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(4t)dt=2∫cos(4t)dt
-
que u=4t.
Luego que du=4dt y ponemos 4du:
∫4cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=4∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
4sin(4t)
Por lo tanto, el resultado es: 8sin(4t)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21dt=2t
El resultado es: 2t+8sin(4t)
Por lo tanto, el resultado es: −16t−64sin(4t)
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−8cos(2t))dt=−8∫cos(2t)dt
-
que u=2t.
Luego que du=2dt y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2t)
Por lo tanto, el resultado es: −16sin(2t)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫81dt=8t
El resultado es: 16t−48sin3(2t)−64sin(4t)
-
Añadimos la constante de integración:
16t−48sin3(2t)−64sin(4t)+constant
Respuesta:
16t−48sin3(2t)−64sin(4t)+constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
| 3
| 3 2 sin (2*t) sin(4*t) t
| sin (t)*sin(t)*cos (t) dt = C - --------- - -------- + --
| 48 64 16
/
∫sin(t)sin3(t)cos2(t)dt=C+16t−48sin3(2t)−64sin(4t)
Gráfica
−32π
=
−32π
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.