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Resolución de integrales/ cos(t)/ sin(t)/ (sin(t)^3)*sin(t)*cos(t)^2

Integral de (sin(t)^3)*sin(t)*cos(t)^2 dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
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pi                           
--                           
2
∫π20sin⁡(t)sin⁡3(t)cos⁡2(t) dt\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{0} \sin{\left(t \right)} \sin^{3}{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt 
Integral((sin(t)^3*sin(t))*cos(t)^2, (t, pi/2, 0))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡(t)sin⁡3(t)cos⁡2(t)=(12−cos⁡(2t)2)2(cos⁡(2t)2+12)\sin{\left(t \right)} \sin^{3}{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2tu = 2 t.

      Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos dudu:

      ∫(cos⁡3(u)16−cos⁡2(u)16−cos⁡(u)16+116) du\int \left(\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{1}{16}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡3(u)16 du=∫cos⁡3(u) du16\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{16}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡3(u)=(1−sin⁡2(u))cos⁡(u)\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}

          2. que u=sin⁡(u)u = \sin{\left(u \right)}.

            Luego que du=cos⁡(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

            ∫(1−u2) du\int \left(1 - u^{2}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫1 du=u\int 1\, du = u

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

              El resultado es: −u33+u- \frac{u^{3}}{3} + u

            Si ahora sustituir uu más en:

            −sin⁡3(u)3+sin⁡(u)- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(u)48+sin⁡(u)16- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡2(u)16) du=−∫cos⁡2(u) du16\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{16}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡2(u)=cos⁡(2u)2+12\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(2u)2 du=∫cos⁡(2u) du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            El resultado es: u2+sin⁡(2u)4\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −u32−sin⁡(2u)64- \frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(u)16) du=−∫cos⁡(u) du16\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(u)16- \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫116 du=u16\int \frac{1}{16}\, du = \frac{u}{16}

        El resultado es: u32−sin⁡(2u)64−sin⁡3(u)48\frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}

      Si ahora sustituir uu más en:

      t16−sin⁡3(2t)48−sin⁡(4t)64\frac{t}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{64}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(2t)2)2(cos⁡(2t)2+12)=cos⁡3(2t)8−cos⁡2(2t)8−cos⁡(2t)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{1}{8}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡3(2t)8 dt=∫cos⁡3(2t) dt8\int \frac{\cos^{3}{\left(2 t \right)}}{8}\, dt = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 t \right)}\, dt}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(2t)=(1−sin⁡2(2t))cos⁡(2t)\cos^{3}{\left(2 t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 t \right)}\right) \cos{\left(2 t \right)}

        2. que u=sin⁡(2t)u = \sin{\left(2 t \right)}.

          Luego que du=2cos⁡(2t)dtdu = 2 \cos{\left(2 t \right)} dt y ponemos dudu:

          ∫(12−u22) du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u22) du=−∫u2 du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u36- \frac{u^{3}}{6}

            El resultado es: −u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡3(2t)6+sin⁡(2t)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(2t)48+sin⁡(2t)16- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡2(2t)8) dt=−∫cos⁡2(2t) dt8\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 t \right)}\, dt}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(2t)=cos⁡(4t)2+12\cos^{2}{\left(2 t \right)} = \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(4t)2 dt=∫cos⁡(4t) dt2\int \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(4 t \right)}\, dt}{2}

            1. que u=4tu = 4 t.

              Luego que du=4dtdu = 4 dt y ponemos du4\frac{du}{4}:

              ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(4t)4\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4t)8\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dt=t2\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}

          El resultado es: t2+sin⁡(4t)8\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: −t16−sin⁡(4t)64- \frac{t}{16} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{64}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(2t)8) dt=−∫cos⁡(2t) dt8\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{8}

        1. que u=2tu = 2 t.

          Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2t)2\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2t)16- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{16}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫18 dt=t8\int \frac{1}{8}\, dt = \frac{t}{8}

      El resultado es: t16−sin⁡3(2t)48−sin⁡(4t)64\frac{t}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{64}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(2t)2)2(cos⁡(2t)2+12)=cos⁡3(2t)8−cos⁡2(2t)8−cos⁡(2t)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{1}{8}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡3(2t)8 dt=∫cos⁡3(2t) dt8\int \frac{\cos^{3}{\left(2 t \right)}}{8}\, dt = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 t \right)}\, dt}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(2t)=(1−sin⁡2(2t))cos⁡(2t)\cos^{3}{\left(2 t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 t \right)}\right) \cos{\left(2 t \right)}

        2. que u=sin⁡(2t)u = \sin{\left(2 t \right)}.

          Luego que du=2cos⁡(2t)dtdu = 2 \cos{\left(2 t \right)} dt y ponemos dudu:

          ∫(12−u22) du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u22) du=−∫u2 du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u36- \frac{u^{3}}{6}

            El resultado es: −u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡3(2t)6+sin⁡(2t)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(2t)48+sin⁡(2t)16- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡2(2t)8) dt=−∫cos⁡2(2t) dt8\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 t \right)}\, dt}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(2t)=cos⁡(4t)2+12\cos^{2}{\left(2 t \right)} = \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(4t)2 dt=∫cos⁡(4t) dt2\int \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(4 t \right)}\, dt}{2}

            1. que u=4tu = 4 t.

              Luego que du=4dtdu = 4 dt y ponemos du4\frac{du}{4}:

              ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(4t)4\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4t)8\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dt=t2\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}

          El resultado es: t2+sin⁡(4t)8\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: −t16−sin⁡(4t)64- \frac{t}{16} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{64}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(2t)8) dt=−∫cos⁡(2t) dt8\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{8}

        1. que u=2tu = 2 t.

          Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2t)2\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2t)16- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{16}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫18 dt=t8\int \frac{1}{8}\, dt = \frac{t}{8}

      El resultado es: t16−sin⁡3(2t)48−sin⁡(4t)64\frac{t}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{64}

  3. Añadimos la constante de integración:

    t16−sin⁡3(2t)48−sin⁡(4t)64+constant\frac{t}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{64}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

t16−sin⁡3(2t)48−sin⁡(4t)64+constant\frac{t}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{64}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                         
 |                                    3                     
 |    3              2             sin (2*t)   sin(4*t)   t 
 | sin (t)*sin(t)*cos (t) dt = C - --------- - -------- + --
 |                                     48         64      16
/
∫sin⁡(t)sin⁡3(t)cos⁡2(t) dt=C+t16−sin⁡3(2t)48−sin⁡(4t)64\int \sin{\left(t \right)} \sin^{3}{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt = C + \frac{t}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{64}
Simplificar
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.50.00.2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-pi 
----
 32
−π32- \frac{\pi}{32} 
=
= 
-pi 
----
 32
−π32- \frac{\pi}{32} 
-pi/32
Respuesta numérica [src] 
-0.098174770424681
-0.098174770424681

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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