Integral de (2*x^2+3*sqrt(x)-1)/(2*x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2 u^{4} + 3 u - 1}{u}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 u^{4} + 3 u - 1}{u} = 2 u^{3} + 3 - \frac{1}{u}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{3}\, du = 2 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 3\, du = 3 u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

         El resultado es: $\frac{u^{4}}{2} + 3 u - \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $3 \sqrt{x} + \frac{x^{2}}{2} - \log{\left(\sqrt{x} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(3 \sqrt{x} + 2 x^{2}\right) - 1}{2 x} = x - \frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 \sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{2 x}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{2}$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{2 \sqrt{x}}\, dx = \frac{3 \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \sqrt{x}$

      El resultado es: $3 \sqrt{x} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $3 \sqrt{x} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $3 \sqrt{x} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 \sqrt{x} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$