Sr Examen

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Integral de dx/(x^2-5*x+8) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                
  /                
 |                 
 |       1         
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  - 5*x + 8   
 |                 
/                  
0                  
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 8}\, dx$$
Integral(1/(x^2 - 5*x + 8), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /               
 |                
 |      1         
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  - 5*x + 8   
 |                
/                 
Reescribimos la función subintegral
     1                         1                
------------ = ---------------------------------
 2                 /                      2    \
x  - 5*x + 8       |/     ___         ___\     |
                   ||-2*\/ 7      5*\/ 7 |     |
               7/4*||--------*x + -------|  + 1|
                   \\   7            7   /     /
o
  /                 
 |                  
 |      1           
 | ------------ dx  
 |  2              =
 | x  - 5*x + 8     
 |                  
/                   
  
    /                              
   |                               
   |              1                
4* | --------------------------- dx
   |                       2       
   | /     ___         ___\        
   | |-2*\/ 7      5*\/ 7 |        
   | |--------*x + -------|  + 1   
   | \   7            7   /        
   |                               
  /                                
-----------------------------------
                 7                 
En integral
    /                              
   |                               
   |              1                
4* | --------------------------- dx
   |                       2       
   | /     ___         ___\        
   | |-2*\/ 7      5*\/ 7 |        
   | |--------*x + -------|  + 1   
   | \   7            7   /        
   |                               
  /                                
-----------------------------------
                 7                 
hacemos el cambio
        ___         ___
    5*\/ 7    2*x*\/ 7 
v = ------- - ---------
       7          7    
entonces
integral =
    /                     
   |                      
   |   1                  
4* | ------ dv            
   |      2               
   | 1 + v                
   |                      
  /              4*atan(v)
-------------- = ---------
      7              7    
hacemos cambio inverso
    /                                                                    
   |                                                                     
   |              1                                                      
4* | --------------------------- dx                                      
   |                       2                                             
   | /     ___         ___\                                              
   | |-2*\/ 7      5*\/ 7 |                                              
   | |--------*x + -------|  + 1                  /      ___         ___\
   | \   7            7   /               ___     |  5*\/ 7    2*x*\/ 7 |
   |                                  2*\/ 7 *atan|- ------- + ---------|
  /                                               \     7          7    /
----------------------------------- = -----------------------------------
                 7                                     7                 
La solución:
                /      ___         ___\
        ___     |  5*\/ 7    2*x*\/ 7 |
    2*\/ 7 *atan|- ------- + ---------|
                \     7          7    /
C + -----------------------------------
                     7                 
Respuesta (Indefinida) [src]
                                     /    ___           \
  /                          ___     |2*\/ 7 *(-5/2 + x)|
 |                       2*\/ 7 *atan|------------------|
 |      1                            \        7         /
 | ------------ dx = C + --------------------------------
 |  2                                   7                
 | x  - 5*x + 8                                          
 |                                                       
/                                                        
$$\int \frac{1}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 8}\, dx = C + \frac{2 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{7} \left(x - \frac{5}{2}\right)}{7} \right)}}{7}$$
Gráfica
Respuesta [src]
              /    ___\               /    ___\
      ___     |3*\/ 7 |       ___     |5*\/ 7 |
  2*\/ 7 *atan|-------|   2*\/ 7 *atan|-------|
              \   7   /               \   7   /
- --------------------- + ---------------------
            7                       7          
$$- \frac{2 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{7}}{7} \right)}}{7} + \frac{2 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{5 \sqrt{7}}{7} \right)}}{7}$$
=
=
              /    ___\               /    ___\
      ___     |3*\/ 7 |       ___     |5*\/ 7 |
  2*\/ 7 *atan|-------|   2*\/ 7 *atan|-------|
              \   7   /               \   7   /
- --------------------- + ---------------------
            7                       7          
$$- \frac{2 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{7}}{7} \right)}}{7} + \frac{2 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{5 \sqrt{7}}{7} \right)}}{7}$$
-2*sqrt(7)*atan(3*sqrt(7)/7)/7 + 2*sqrt(7)*atan(5*sqrt(7)/7)/7
Respuesta numérica [src]
0.178428933778863
0.178428933778863

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.