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Resolución de integrales/ (x+2)/ (1/3)/ (x-3)/ f(x)=(x+2)(x-3)^(1/3)

Integral de f(x)=(x+2)(x-3)^(1/3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  8                     
  /                     
 |                      
 |          3 _______   
 |  (x + 2)*\/ x - 3  dx
 |                      
/                       
-1
∫−18x−33(x+2) dx\int\limits_{-1}^{8} \sqrt[3]{x - 3} \left(x + 2\right)\, dx 
Integral((x + 2)*(x - 3)^(1/3), (x, -1, 8))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=x−33u = \sqrt[3]{x - 3}.

      Luego que du=dx3(x−3)23du = \frac{dx}{3 \left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}} y ponemos dudu:

      ∫(−3u3+3(u3+3)2−27) du\int \left(- 3 u^{3} + 3 \left(u^{3} + 3\right)^{2} - 27\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−3u3) du=−3∫u3 du\int \left(- 3 u^{3}\right)\, du = - 3 \int u^{3}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −3u44- \frac{3 u^{4}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3(u3+3)2 du=3∫(u3+3)2 du\int 3 \left(u^{3} + 3\right)^{2}\, du = 3 \int \left(u^{3} + 3\right)^{2}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (u3+3)2=u6+6u3+9\left(u^{3} + 3\right)^{2} = u^{6} + 6 u^{3} + 9

          2. Integramos término a término:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫6u3 du=6∫u3 du\int 6 u^{3}\, du = 6 \int u^{3}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: 3u42\frac{3 u^{4}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫9 du=9u\int 9\, du = 9 u

            El resultado es: u77+3u42+9u\frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{4}}{2} + 9 u

          Por lo tanto, el resultado es: 3u77+9u42+27u\frac{3 u^{7}}{7} + \frac{9 u^{4}}{2} + 27 u

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−27) du=−27u\int \left(-27\right)\, du = - 27 u

        El resultado es: 3u77+15u44\frac{3 u^{7}}{7} + \frac{15 u^{4}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      3(x−3)737+15(x−3)434\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{15 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}}{4}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x−33(x+2)=xx−33+2x−33\sqrt[3]{x - 3} \left(x + 2\right) = x \sqrt[3]{x - 3} + 2 \sqrt[3]{x - 3}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=x−33u = \sqrt[3]{x - 3}.

        Luego que du=dx3(x−3)23du = \frac{dx}{3 \left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}} y ponemos dudu:

        ∫(−9u3+3(u3+3)2−27) du\int \left(- 9 u^{3} + 3 \left(u^{3} + 3\right)^{2} - 27\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−9u3) du=−9∫u3 du\int \left(- 9 u^{3}\right)\, du = - 9 \int u^{3}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: −9u44- \frac{9 u^{4}}{4}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫3(u3+3)2 du=3∫(u3+3)2 du\int 3 \left(u^{3} + 3\right)^{2}\, du = 3 \int \left(u^{3} + 3\right)^{2}\, du

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              (u3+3)2=u6+6u3+9\left(u^{3} + 3\right)^{2} = u^{6} + 6 u^{3} + 9

            2. Integramos término a término:

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫6u3 du=6∫u3 du\int 6 u^{3}\, du = 6 \int u^{3}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: 3u42\frac{3 u^{4}}{2}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫9 du=9u\int 9\, du = 9 u

              El resultado es: u77+3u42+9u\frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{4}}{2} + 9 u

            Por lo tanto, el resultado es: 3u77+9u42+27u\frac{3 u^{7}}{7} + \frac{9 u^{4}}{2} + 27 u

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−27) du=−27u\int \left(-27\right)\, du = - 27 u

          El resultado es: 3u77+9u44\frac{3 u^{7}}{7} + \frac{9 u^{4}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3(x−3)737+9(x−3)434\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{9 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x−33 dx=2∫x−33 dx\int 2 \sqrt[3]{x - 3}\, dx = 2 \int \sqrt[3]{x - 3}\, dx

        1. que u=x−3u = x - 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫u3 du\int \sqrt[3]{u}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u3 du=3u434\int \sqrt[3]{u}\, du = \frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          3(x−3)434\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3(x−3)432\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}}{2}

      El resultado es: 3(x−3)737+15(x−3)434\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{15 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}}{4}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x−33(x+2)=xx−33+2x−33\sqrt[3]{x - 3} \left(x + 2\right) = x \sqrt[3]{x - 3} + 2 \sqrt[3]{x - 3}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=x−33u = \sqrt[3]{x - 3}.

        Luego que du=dx3(x−3)23du = \frac{dx}{3 \left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}} y ponemos dudu:

        ∫(−9u3+3(u3+3)2−27) du\int \left(- 9 u^{3} + 3 \left(u^{3} + 3\right)^{2} - 27\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−9u3) du=−9∫u3 du\int \left(- 9 u^{3}\right)\, du = - 9 \int u^{3}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: −9u44- \frac{9 u^{4}}{4}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫3(u3+3)2 du=3∫(u3+3)2 du\int 3 \left(u^{3} + 3\right)^{2}\, du = 3 \int \left(u^{3} + 3\right)^{2}\, du

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              (u3+3)2=u6+6u3+9\left(u^{3} + 3\right)^{2} = u^{6} + 6 u^{3} + 9

            2. Integramos término a término:

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫6u3 du=6∫u3 du\int 6 u^{3}\, du = 6 \int u^{3}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: 3u42\frac{3 u^{4}}{2}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫9 du=9u\int 9\, du = 9 u

              El resultado es: u77+3u42+9u\frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{4}}{2} + 9 u

            Por lo tanto, el resultado es: 3u77+9u42+27u\frac{3 u^{7}}{7} + \frac{9 u^{4}}{2} + 27 u

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−27) du=−27u\int \left(-27\right)\, du = - 27 u

          El resultado es: 3u77+9u44\frac{3 u^{7}}{7} + \frac{9 u^{4}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3(x−3)737+9(x−3)434\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{9 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x−33 dx=2∫x−33 dx\int 2 \sqrt[3]{x - 3}\, dx = 2 \int \sqrt[3]{x - 3}\, dx

        1. que u=x−3u = x - 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫u3 du\int \sqrt[3]{u}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u3 du=3u434\int \sqrt[3]{u}\, du = \frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          3(x−3)434\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3(x−3)432\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}}{2}

      El resultado es: 3(x−3)737+15(x−3)434\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{15 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    3(x−3)43(4x+23)28\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}} \left(4 x + 23\right)}{28}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3(x−3)43(4x+23)28+constant\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}} \left(4 x + 23\right)}{28}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3(x−3)43(4x+23)28+constant\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}} \left(4 x + 23\right)}{28}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                       
 |                                     7/3             4/3
 |         3 _______          3*(x - 3)      15*(x - 3)   
 | (x + 2)*\/ x - 3  dx = C + ------------ + -------------
 |                                 7               4      
/
∫x−33(x+2) dx=C+3(x−3)737+15(x−3)434\int \sqrt[3]{x - 3} \left(x + 2\right)\, dx = C + \frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{15 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}}{4}
Simplificar
Gráfica
8.03.03.54.04.55.05.56.06.57.07.50100
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                     pi*I
                     ----
    3 ___       2/3   3  
825*\/ 5    57*2   *e    
--------- + -------------
    28            7
8255328+57⋅223eiπ37\frac{825 \sqrt[3]{5}}{28} + \frac{57 \cdot 2^{\frac{2}{3}} e^{\frac{i \pi}{3}}}{7} 
=
= 
                     pi*I
                     ----
    3 ___       2/3   3  
825*\/ 5    57*2   *e    
--------- + -------------
    28            7
8255328+57⋅223eiπ37\frac{825 \sqrt[3]{5}}{28} + \frac{57 \cdot 2^{\frac{2}{3}} e^{\frac{i \pi}{3}}}{7} 
825*5^(1/3)/28 + 57*2^(2/3)*exp(pi*i/3)/7
Respuesta numérica [src] 
(56.8657830883838 + 11.2114077432818j)
(56.8657830883838 + 11.2114077432818j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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