Integral de f(x)=(x+2)(x-3)^(1/3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x - 3}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 \left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- 3 u^{3} + 3 \left(u^{3} + 3\right)^{2} - 27\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 u^{3}\right)\, du = - 3 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{4}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 \left(u^{3} + 3\right)^{2}\, du = 3 \int \left(u^{3} + 3\right)^{2}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(u^{3} + 3\right)^{2} = u^{6} + 6 u^{3} + 9$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 6 u^{3}\, du = 6 \int u^{3}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{4}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 9\, du = 9 u$

               El resultado es: $\frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{4}}{2} + 9 u$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{7}}{7} + \frac{9 u^{4}}{2} + 27 u$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-27\right)\, du = - 27 u$

         El resultado es: $\frac{3 u^{7}}{7} + \frac{15 u^{4}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{15 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt[3]{x - 3} \left(x + 2\right) = x \sqrt[3]{x - 3} + 2 \sqrt[3]{x - 3}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \sqrt[3]{x - 3}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{3 \left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- 9 u^{3} + 3 \left(u^{3} + 3\right)^{2} - 27\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 9 u^{3}\right)\, du = - 9 \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 u^{4}}{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 3 \left(u^{3} + 3\right)^{2}\, du = 3 \int \left(u^{3} + 3\right)^{2}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(u^{3} + 3\right)^{2} = u^{6} + 6 u^{3} + 9$

               2. Integramos término a término:

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int 6 u^{3}\, du = 6 \int u^{3}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{4}}{2}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 9\, du = 9 u$

                  El resultado es: $\frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{4}}{2} + 9 u$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{7}}{7} + \frac{9 u^{4}}{2} + 27 u$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-27\right)\, du = - 27 u$

            El resultado es: $\frac{3 u^{7}}{7} + \frac{9 u^{4}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{9 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \sqrt[3]{x - 3}\, dx = 2 \int \sqrt[3]{x - 3}\, dx$

         1. que $u = x - 3$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \sqrt[3]{u}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt[3]{u}\, du = \frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}}{2}$

      El resultado es: $\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{15 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}}{4}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt[3]{x - 3} \left(x + 2\right) = x \sqrt[3]{x - 3} + 2 \sqrt[3]{x - 3}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \sqrt[3]{x - 3}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{3 \left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- 9 u^{3} + 3 \left(u^{3} + 3\right)^{2} - 27\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 9 u^{3}\right)\, du = - 9 \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 u^{4}}{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 3 \left(u^{3} + 3\right)^{2}\, du = 3 \int \left(u^{3} + 3\right)^{2}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(u^{3} + 3\right)^{2} = u^{6} + 6 u^{3} + 9$

               2. Integramos término a término:

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int 6 u^{3}\, du = 6 \int u^{3}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{4}}{2}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 9\, du = 9 u$

                  El resultado es: $\frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{4}}{2} + 9 u$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{7}}{7} + \frac{9 u^{4}}{2} + 27 u$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-27\right)\, du = - 27 u$

            El resultado es: $\frac{3 u^{7}}{7} + \frac{9 u^{4}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{9 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \sqrt[3]{x - 3}\, dx = 2 \int \sqrt[3]{x - 3}\, dx$

         1. que $u = x - 3$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \sqrt[3]{u}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt[3]{u}\, du = \frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}}{2}$

      El resultado es: $\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{15 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}} \left(4 x + 23\right)}{28}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}} \left(4 x + 23\right)}{28}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \left(x - 3\right)^{\frac{4}{3}} \left(4 x + 23\right)}{28}+ \mathrm{constant}$