Integral de 2^(-x^(1/4))/x^(3/4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2^{- \sqrt[4]{x}}$.

      Luego que $du = - \frac{2^{- \sqrt[4]{x}} \log{\left(2 \right)} dx}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $- \frac{4 du}{\log{\left(2 \right)}}$:

      $\int \left(- \frac{4}{\log{\left(2 \right)}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1\, du = - \frac{4 \int 1\, du}{\log{\left(2 \right)}}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 u}{\log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{4 \cdot 2^{- \sqrt[4]{x}}}{\log{\left(2 \right)}}$

   Método #2

   1. que $u = - \sqrt[4]{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $- 4 du$:

      $\int \left(- 4 \cdot 2^{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2^{u}\, du = - 4 \int 2^{u}\, du$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \cdot 2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{4 \cdot 2^{- \sqrt[4]{x}}}{\log{\left(2 \right)}}$

   Método #3

   1. que $u = x^{\frac{3}{4}}$.

      Luego que $du = \frac{3 dx}{4 \sqrt[4]{x}}$ y ponemos $\frac{4 du}{3}$:

      $\int \frac{4 \cdot 2^{- \sqrt[3]{u}}}{3 u^{\frac{2}{3}}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2^{- \sqrt[3]{u}}}{u^{\frac{2}{3}}}\, du = \frac{4 \int \frac{2^{- \sqrt[3]{u}}}{u^{\frac{2}{3}}}\, du}{3}$

         1. que $u = - \sqrt[3]{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{3 u^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $- 3 du$:

            $\int \left(- 3 \cdot 2^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2^{u}\, du = - 3 \int 2^{u}\, du$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \cdot 2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{3 \cdot 2^{- \sqrt[3]{u}}}{\log{\left(2 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \cdot 2^{- \sqrt[3]{u}}}{\log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{4 \cdot 2^{- \sqrt[4]{x}}}{\log{\left(2 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{2^{2 - \sqrt[4]{x}}}{\log{\left(2 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2^{2 - \sqrt[4]{x}}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2^{2 - \sqrt[4]{x}}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$