Sr Examen
Integral de 1/sin(5x) dx
Solución
Ha introducido
[src]
pi -- 6 / | | 1 | -------- dx | sin(5*x) | / 0
$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\sin{\left(5 x \right)}}\, dx$$
Integral(1/sin(5*x), (x, 0, pi/6))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 1 | -------- dx | sin(5*x) | /
La función subintegral
1 -------- sin(5*x)
Multiplicamos numerador y denominador por
sin(5*x)
obtendremos
1 sin(5*x)
-------- = ---------
sin(5*x) 2
sin (5*x)Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
2 2 sin (5*x) = 1 - cos (5*x)
cambiamos denominador
sin(5*x) sin(5*x) --------- = ------------- 2 2 sin (5*x) 1 - cos (5*x)
hacemos el cambio
u = cos(5*x)
entonces integral
/ | | sin(5*x) | ------------- dx | 2 = | 1 - cos (5*x) | /
/ | | sin(5*x) | ------------- dx | 2 = | 1 - cos (5*x) | /
Como du = -5*dx*sin(5*x)
/ | | -1 | ---------- du | / 2\ | 5*\1 - u / | /
Reescribimos la función subintegral
-1 -1 / 1 1 \ ---------- = ---*|----- + -----| / 2\ 5*2 \1 - u 1 + u/ 5*\1 - u /
entonces
/ /
| |
| 1 | 1
| ----- du | ----- du
/ | 1 + u | 1 - u
| | |
| -1 / / =
| ---------- du = - ----------- - -----------
| / 2\ 10 10
| 5*\1 - u /
|
/
= -log(1 + u)/10 + log(-1 + u)/10
hacemos cambio inverso
u = cos(5*x)
Respuesta
/ | | 1 log(1 + cos(5*x)) log(-1 + cos(5*x)) | -------- dx = - ----------------- + ------------------ + C0 | sin(5*x) 10 10 | /
donde C0 es la constante que no depende de x
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | | 1 log(1 + cos(5*x)) log(-1 + cos(5*x)) | -------- dx = C - ----------------- + ------------------ | sin(5*x) 10 10 | /
$$\int \frac{1}{\sin{\left(5 x \right)}}\, dx = C + \frac{\log{\left(\cos{\left(5 x \right)} - 1 \right)}}{10} - \frac{\log{\left(\cos{\left(5 x \right)} + 1 \right)}}{10}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
pi*I
oo + ----
10
$$\infty + \frac{i \pi}{10}$$
=
=
pi*I
oo + ----
10
$$\infty + \frac{i \pi}{10}$$
oo + pi*i/10
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.