Integral de sqrt(1-x/2-y/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - \frac{y}{2} + \left(- \frac{x}{2} + 1\right)$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

      $\int \left(- 2 \sqrt{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = - 2 \int \sqrt{u}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{4 \left(- \frac{y}{2} + \left(- \frac{x}{2} + 1\right)\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\text{True}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sqrt{2} \sqrt{- x - y + 2}}{2}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \sqrt{- x - y + 2}\, dx}{2}$

      1. que $u = - x - y + 2$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \sqrt{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = - \int \sqrt{u}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2 \left(- x - y + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{2} \left(- x - y + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\text{True}$

   2. que $u = - \frac{x}{2} - \frac{y}{2} + 1$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

      $\int \left(- 2 \sqrt{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = - 2 \int \sqrt{u}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{4 \left(- \frac{x}{2} - \frac{y}{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\sqrt{2} \left(- x - y + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\sqrt{2} \left(- x - y + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\sqrt{2} \left(- x - y + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$