Integral de 3√(8-4x)^2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 3 \left(\sqrt{8 - 4 x}\right)^{2}\, dx = 3 \int \left(\sqrt{8 - 4 x}\right)^{2}\, dx$

   1. que $u = \sqrt{8 - 4 x}$.

      Luego que $du = - \frac{2 dx}{\sqrt{8 - 4 x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u \left(2 - \frac{u^{2}}{4}\right) - 4 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u \left(2 - \frac{u^{2}}{4}\right)\, du = 2 \int u \left(2 - \frac{u^{2}}{4}\right)\, du$

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. que $u = u^{2}$.

                  Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $du$:

                  $\int \left(1 - \frac{u}{8}\right)\, du$

                  1. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{u}{8}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{8}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{16}$

                     El resultado es: $- \frac{u^{2}}{16} + u$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{u^{4}}{16} + u^{2}$

               Método #2

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $u \left(2 - \frac{u^{2}}{4}\right) = - \frac{u^{3}}{4} + 2 u$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{u^{3}}{4}\right)\, du = - \frac{\int u^{3}\, du}{4}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{16}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

                  El resultado es: $- \frac{u^{4}}{16} + u^{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{8} + 2 u^{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 u\right)\, du = - 4 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u^{2}$

         El resultado es: $- \frac{u^{4}}{8}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(8 - 4 x\right)^{2}}{8}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \left(8 - 4 x\right)^{2}}{8}$

2. Ahora simplificar:

   $- 6 \left(x - 2\right)^{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 6 \left(x - 2\right)^{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 6 \left(x - 2\right)^{2}+ \mathrm{constant}$