Integral de 1/e^x(e^2x+2e^x+10) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{\left(2 e^{x} + e^{2} x\right) + 10}{e^{x}} = x e^{2} e^{- x} + 2 + 10 e^{- x}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int x e^{2} e^{- x}\, dx = e^{2} \int x e^{- x}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- x e^{- x} - e^{- x}$

         Método #2

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = - x$.

               Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- e^{- x}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- e^{- x}\right)\, dx = - \int e^{- x}\, dx$

            1. que $u = - x$.

               Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- e^{- x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $e^{- x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\left(- x e^{- x} - e^{- x}\right) e^{2}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 2\, dx = 2 x$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 10 e^{- x}\, dx = 10 \int e^{- x}\, dx$

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- e^{- x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 10 e^{- x}$

   El resultado es: $2 x + \left(- x e^{- x} - e^{- x}\right) e^{2} - 10 e^{- x}$

3. Ahora simplificar:

   $\left(2 x e^{x} - \left(x + 1\right) e^{2} - 10\right) e^{- x}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\left(2 x e^{x} - \left(x + 1\right) e^{2} - 10\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(2 x e^{x} - \left(x + 1\right) e^{2} - 10\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$