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Resolución de integrales/ 1+e^x/ ln(1+e^x)

Integral de ln(1+e^x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |     /     x\   
 |  log\1 + E / dx
 |                
/                 
0
∫01log⁡(ex+1) dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(e^{x} + 1 \right)}\, dx 
Integral(log(1 + E^x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log⁡(ex+1)u{\left(x \right)} = \log{\left(e^{x} + 1 \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

    Entonces du⁡(x)=exex+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

    Pero la integral

    ∫xexex+1 dx\int \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx

  3. Ahora simplificar:

    xlog⁡(ex+1)−∫xexex+1 dxx \log{\left(e^{x} + 1 \right)} - \int \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx

  4. Añadimos la constante de integración:

    xlog⁡(ex+1)−∫xexex+1 dx+constantx \log{\left(e^{x} + 1 \right)} - \int \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xlog⁡(ex+1)−∫xexex+1 dx+constantx \log{\left(e^{x} + 1 \right)} - \int \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                          /                         
  /                      |                          
 |                       |     x                    
 |    /     x\           |  x*e             /     x\
 | log\1 + E / dx = C -  | ------ dx + x*log\1 + E /
 |                       |      x                   
/                        | 1 + e                    
                         |                          
                        /
∫log⁡(ex+1) dx=C+xlog⁡(ex+1)−∫xexex+1 dx\int \log{\left(e^{x} + 1 \right)}\, dx = C + x \log{\left(e^{x} + 1 \right)} - \int \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx
Simplificar
Respuesta [src] 
    1                       
    /                       
   |                        
   |      x                 
   |   x*e                  
-  |  ------ dx + log(1 + E)
   |       x                
   |  1 + e                 
   |                        
  /                         
  0
−∫01xexex+1 dx+log⁡(1+e)- \int\limits_{0}^{1} \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx + \log{\left(1 + e \right)} 
=
= 
    1                       
    /                       
   |                        
   |      x                 
   |   x*e                  
-  |  ------ dx + log(1 + E)
   |       x                
   |  1 + e                 
   |                        
  /                         
  0
−∫01xexex+1 dx+log⁡(1+e)- \int\limits_{0}^{1} \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx + \log{\left(1 + e \right)} 
-Integral(x*exp(x)/(1 + exp(x)), (x, 0, 1)) + log(1 + E)
Respuesta numérica [src] 
0.983819037020661
0.983819037020661

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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