Integral de csc^28xdx dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\csc^{28}{\left(x \right)} = \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{13} \csc^{2}{\left(x \right)}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{13} \csc^{2}{\left(x \right)} = \cot^{26}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 13 \cot^{24}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 78 \cot^{22}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 286 \cot^{20}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 715 \cot^{18}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 1287 \cot^{16}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 1716 \cot^{14}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 1716 \cot^{12}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 1287 \cot^{10}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 715 \cot^{8}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 286 \cot^{6}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 78 \cot^{4}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 13 \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \csc^{2}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{26}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{26}\, du = - \int u^{26}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{26}\, du = \frac{u^{27}}{27}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{27}}{27}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cot^{27}{\left(x \right)}}{27}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 13 \cot^{24}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 13 \int \cot^{24}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{24}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{24}\, du = - \int u^{24}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{24}\, du = \frac{u^{25}}{25}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{25}}{25}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{25}{\left(x \right)}}{25}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{13 \cot^{25}{\left(x \right)}}{25}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 78 \cot^{22}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 78 \int \cot^{22}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{22}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{22}\, du = - \int u^{22}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{22}\, du = \frac{u^{23}}{23}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{23}}{23}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{23}{\left(x \right)}}{23}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{78 \cot^{23}{\left(x \right)}}{23}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 286 \cot^{20}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 286 \int \cot^{20}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{20}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{20}\, du = - \int u^{20}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{21}}{21}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{21}{\left(x \right)}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{286 \cot^{21}{\left(x \right)}}{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 715 \cot^{18}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 715 \int \cot^{18}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{18}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{18}\, du = - \int u^{18}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{19}}{19}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{19}{\left(x \right)}}{19}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{715 \cot^{19}{\left(x \right)}}{19}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1287 \cot^{16}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 1287 \int \cot^{16}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{16}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{16}\, du = - \int u^{16}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{17}}{17}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{17}{\left(x \right)}}{17}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1287 \cot^{17}{\left(x \right)}}{17}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1716 \cot^{14}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 1716 \int \cot^{14}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{14}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{14}\, du = - \int u^{14}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{15}}{15}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{15}{\left(x \right)}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{572 \cot^{15}{\left(x \right)}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1716 \cot^{12}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 1716 \int \cot^{12}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{12}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{12}\, du = - \int u^{12}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{13}}{13}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{13}{\left(x \right)}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 132 \cot^{13}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1287 \cot^{10}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 1287 \int \cot^{10}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{10}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{10}\, du = - \int u^{10}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{11}}{11}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{11}{\left(x \right)}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 117 \cot^{11}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 715 \cot^{8}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 715 \int \cot^{8}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{8}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{9}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{9}{\left(x \right)}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{715 \cot^{9}{\left(x \right)}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 286 \cot^{6}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 286 \int \cot^{6}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{286 \cot^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 78 \cot^{4}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 78 \int \cot^{4}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{78 \cot^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 13 \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 13 \int \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{13 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. $\int \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = - \cot{\left(x \right)}$

      El resultado es: $- \frac{\cot^{27}{\left(x \right)}}{27} - \frac{13 \cot^{25}{\left(x \right)}}{25} - \frac{78 \cot^{23}{\left(x \right)}}{23} - \frac{286 \cot^{21}{\left(x \right)}}{21} - \frac{715 \cot^{19}{\left(x \right)}}{19} - \frac{1287 \cot^{17}{\left(x \right)}}{17} - \frac{572 \cot^{15}{\left(x \right)}}{5} - 132 \cot^{13}{\left(x \right)} - 117 \cot^{11}{\left(x \right)} - \frac{715 \cot^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{286 \cot^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{78 \cot^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{13 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{13} \csc^{2}{\left(x \right)} = \cot^{26}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 13 \cot^{24}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 78 \cot^{22}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 286 \cot^{20}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 715 \cot^{18}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 1287 \cot^{16}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 1716 \cot^{14}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 1716 \cot^{12}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 1287 \cot^{10}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 715 \cot^{8}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 286 \cot^{6}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 78 \cot^{4}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 13 \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \csc^{2}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{26}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{26}\, du = - \int u^{26}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{26}\, du = \frac{u^{27}}{27}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{27}}{27}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cot^{27}{\left(x \right)}}{27}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 13 \cot^{24}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 13 \int \cot^{24}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{24}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{24}\, du = - \int u^{24}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{24}\, du = \frac{u^{25}}{25}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{25}}{25}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{25}{\left(x \right)}}{25}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{13 \cot^{25}{\left(x \right)}}{25}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 78 \cot^{22}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 78 \int \cot^{22}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{22}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{22}\, du = - \int u^{22}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{22}\, du = \frac{u^{23}}{23}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{23}}{23}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{23}{\left(x \right)}}{23}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{78 \cot^{23}{\left(x \right)}}{23}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 286 \cot^{20}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 286 \int \cot^{20}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{20}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{20}\, du = - \int u^{20}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{21}}{21}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{21}{\left(x \right)}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{286 \cot^{21}{\left(x \right)}}{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 715 \cot^{18}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 715 \int \cot^{18}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{18}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{18}\, du = - \int u^{18}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{19}}{19}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{19}{\left(x \right)}}{19}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{715 \cot^{19}{\left(x \right)}}{19}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1287 \cot^{16}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 1287 \int \cot^{16}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{16}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{16}\, du = - \int u^{16}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{17}}{17}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{17}{\left(x \right)}}{17}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1287 \cot^{17}{\left(x \right)}}{17}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1716 \cot^{14}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 1716 \int \cot^{14}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{14}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{14}\, du = - \int u^{14}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{15}}{15}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{15}{\left(x \right)}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{572 \cot^{15}{\left(x \right)}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1716 \cot^{12}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 1716 \int \cot^{12}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{12}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{12}\, du = - \int u^{12}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{13}}{13}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{13}{\left(x \right)}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 132 \cot^{13}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1287 \cot^{10}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 1287 \int \cot^{10}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{10}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{10}\, du = - \int u^{10}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{11}}{11}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{11}{\left(x \right)}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 117 \cot^{11}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 715 \cot^{8}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 715 \int \cot^{8}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{8}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{9}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{9}{\left(x \right)}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{715 \cot^{9}{\left(x \right)}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 286 \cot^{6}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 286 \int \cot^{6}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{286 \cot^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 78 \cot^{4}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 78 \int \cot^{4}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{78 \cot^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 13 \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 13 \int \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{13 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. $\int \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = - \cot{\left(x \right)}$

      El resultado es: $- \frac{\cot^{27}{\left(x \right)}}{27} - \frac{13 \cot^{25}{\left(x \right)}}{25} - \frac{78 \cot^{23}{\left(x \right)}}{23} - \frac{286 \cot^{21}{\left(x \right)}}{21} - \frac{715 \cot^{19}{\left(x \right)}}{19} - \frac{1287 \cot^{17}{\left(x \right)}}{17} - \frac{572 \cot^{15}{\left(x \right)}}{5} - 132 \cot^{13}{\left(x \right)} - 117 \cot^{11}{\left(x \right)} - \frac{715 \cot^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{286 \cot^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{78 \cot^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{13 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(35102025 + \frac{152108775}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{547591590}{\tan^{4}{\left(x \right)}} + \frac{1434168450}{\tan^{6}{\left(x \right)}} + \frac{2788660875}{\tan^{8}{\left(x \right)}} + \frac{4106936925}{\tan^{10}{\left(x \right)}} + \frac{4633467300}{\tan^{12}{\left(x \right)}} + \frac{4015671660}{\tan^{14}{\left(x \right)}} + \frac{2657429775}{\tan^{16}{\left(x \right)}} + \frac{1320944625}{\tan^{18}{\left(x \right)}} + \frac{478056150}{\tan^{20}{\left(x \right)}} + \frac{119041650}{\tan^{22}{\left(x \right)}} + \frac{18253053}{\tan^{24}{\left(x \right)}} + \frac{1300075}{\tan^{26}{\left(x \right)}}\right) \cot{\left(x \right)}}{35102025}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(35102025 + \frac{152108775}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{547591590}{\tan^{4}{\left(x \right)}} + \frac{1434168450}{\tan^{6}{\left(x \right)}} + \frac{2788660875}{\tan^{8}{\left(x \right)}} + \frac{4106936925}{\tan^{10}{\left(x \right)}} + \frac{4633467300}{\tan^{12}{\left(x \right)}} + \frac{4015671660}{\tan^{14}{\left(x \right)}} + \frac{2657429775}{\tan^{16}{\left(x \right)}} + \frac{1320944625}{\tan^{18}{\left(x \right)}} + \frac{478056150}{\tan^{20}{\left(x \right)}} + \frac{119041650}{\tan^{22}{\left(x \right)}} + \frac{18253053}{\tan^{24}{\left(x \right)}} + \frac{1300075}{\tan^{26}{\left(x \right)}}\right) \cot{\left(x \right)}}{35102025}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(35102025 + \frac{152108775}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{547591590}{\tan^{4}{\left(x \right)}} + \frac{1434168450}{\tan^{6}{\left(x \right)}} + \frac{2788660875}{\tan^{8}{\left(x \right)}} + \frac{4106936925}{\tan^{10}{\left(x \right)}} + \frac{4633467300}{\tan^{12}{\left(x \right)}} + \frac{4015671660}{\tan^{14}{\left(x \right)}} + \frac{2657429775}{\tan^{16}{\left(x \right)}} + \frac{1320944625}{\tan^{18}{\left(x \right)}} + \frac{478056150}{\tan^{20}{\left(x \right)}} + \frac{119041650}{\tan^{22}{\left(x \right)}} + \frac{18253053}{\tan^{24}{\left(x \right)}} + \frac{1300075}{\tan^{26}{\left(x \right)}}\right) \cot{\left(x \right)}}{35102025}+ \mathrm{constant}$