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Resolución de integrales/ lnx-1/ 1/x*(lnx-1)^2

Integral de 1/x*(lnx-1)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo                 
  /                 
 |                  
 |              2   
 |  (log(x) - 1)    
 |  ------------- dx
 |        x         
 |                  
/                   
 2                  
e
∫e2∞(log⁡(x)−1)2x dx\int\limits_{e^{2}}^{\infty} \frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x}\, dx 
Integral((log(x) - 1)^2/x, (x, exp(2), oo))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−log⁡(1u)2−2log⁡(1u)+1u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} - 2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}{u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫log⁡(1u)2−2log⁡(1u)+1u du=−∫log⁡(1u)2−2log⁡(1u)+1u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} - 2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} - 2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}{u}\, du

        1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

          Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−log⁡(u)2−2log⁡(u)+1u) du\int \left(- \frac{\log{\left(u \right)}^{2} - 2 \log{\left(u \right)} + 1}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫log⁡(u)2−2log⁡(u)+1u du=−∫log⁡(u)2−2log⁡(u)+1u du\int \frac{\log{\left(u \right)}^{2} - 2 \log{\left(u \right)} + 1}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(u \right)}^{2} - 2 \log{\left(u \right)} + 1}{u}\, du

            1. que u=log⁡(u)u = \log{\left(u \right)}.

              Luego que du=duudu = \frac{du}{u} y ponemos dudu:

              ∫(u2−2u+1) du\int \left(u^{2} - 2 u + 1\right)\, du

              1. Integramos término a término:

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫(−2u) du=−2∫u du\int \left(- 2 u\right)\, du = - 2 \int u\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u2- u^{2}

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫1 du=u\int 1\, du = u

                El resultado es: u33−u2+u\frac{u^{3}}{3} - u^{2} + u

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u)33−log⁡(u)2+log⁡(u)\frac{\log{\left(u \right)}^{3}}{3} - \log{\left(u \right)}^{2} + \log{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)33+log⁡(u)2−log⁡(u)- \frac{\log{\left(u \right)}^{3}}{3} + \log{\left(u \right)}^{2} - \log{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(u)33+log⁡(u)2+log⁡(u)\frac{\log{\left(u \right)}^{3}}{3} + \log{\left(u \right)}^{2} + \log{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)33−log⁡(u)2−log⁡(u)- \frac{\log{\left(u \right)}^{3}}{3} - \log{\left(u \right)}^{2} - \log{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(x)33−log⁡(x)2+log⁡(x)\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} - \log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (log⁡(x)−1)2x=log⁡(x)2−2log⁡(x)+1x\frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x} = \frac{\log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 1}{x}

    2. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−log⁡(1u)2−2log⁡(1u)+1u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} - 2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}{u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫log⁡(1u)2−2log⁡(1u)+1u du=−∫log⁡(1u)2−2log⁡(1u)+1u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} - 2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} - 2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}{u}\, du

        1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

          Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos dudu:

          ∫(−u2+2u−1) du\int \left(- u^{2} + 2 u - 1\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2u du=2∫u du\int 2 u\, du = 2 \int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: u2u^{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫(−1) du=−u\int \left(-1\right)\, du = - u

            El resultado es: −u33+u2−u- \frac{u^{3}}{3} + u^{2} - u

          Si ahora sustituir uu más en:

          −log⁡(1u)33+log⁡(1u)2−log⁡(1u)- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} + \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)33−log⁡(1u)2+log⁡(1u)\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + \log{\left(\frac{1}{u} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(x)33−log⁡(x)2+log⁡(x)\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} - \log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (log⁡(x)−1)2x=log⁡(x)2x−2log⁡(x)x+1x\frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x} = \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} - \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

        Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

        ∫(−log⁡(1u)2u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫log⁡(1u)2u du=−∫log⁡(1u)2u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du

          1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

            Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

            ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −log⁡(1u)33- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)33\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x)33\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2log⁡(x)x) dx=−2∫log⁡(x)x dx\int \left(- \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x}\right)\, dx = - 2 \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx

        1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

          Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−log⁡(1u)u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫log⁡(1u)u du=−∫log⁡(1u)u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du

            1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

              Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

              ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −log⁡(1u)22- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)22\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x)22\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x)2- \log{\left(x \right)}^{2}

      1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

      El resultado es: log⁡(x)33−log⁡(x)2+log⁡(x)\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} - \log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    (log⁡(x)23−log⁡(x)+1)log⁡(x)\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{3} - \log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (log⁡(x)23−log⁡(x)+1)log⁡(x)+constant\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{3} - \log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(log⁡(x)23−log⁡(x)+1)log⁡(x)+constant\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{3} - \log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                 
 |                                                  
 |             2                       3            
 | (log(x) - 1)              2      log (x)         
 | ------------- dx = C - log (x) + ------- + log(x)
 |       x                             3            
 |                                                  
/
∫(log⁡(x)−1)2x dx=C+log⁡(x)33−log⁡(x)2+log⁡(x)\int \frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x}\, dx = C + \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} - \log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
7.39007.39107.39207.39307.39407.39507.39607.39707.39807.39900.01.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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