Integral de (x^2+x+1)/(sqrt(16-x^2)) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{\left(x^{2} + x\right) + 1}{\sqrt{16 - x^{2}}} = \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}} + \frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

2. Integramos término a término:

   TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=4*sin(_theta), rewritten=16*sin(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=16, other=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=1/2 - cos(2*_theta)/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta)], context=1/2 - cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), context=16*sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -4) & (x < 4), context=x**2/sqrt(16 - x**2), symbol=x)

   1. que $u = 16 - x^{2}$.

      Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \sqrt{16 - x^{2}}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}\, dx}{4}$

      1. que $u = \frac{x}{4}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{4}$ y ponemos $4 du$:

         $\int \frac{16}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{4}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du = 4 \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

            ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: $4 \operatorname{asin}{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $4 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)}$

   El resultado es: $- \sqrt{16 - x^{2}} + \begin{cases} - \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} + 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} - \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} - \sqrt{16 - x^{2}} + 9 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} - \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} - \sqrt{16 - x^{2}} + 9 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} - \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} - \sqrt{16 - x^{2}} + 9 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}+ \mathrm{constant}$