Integral de 4^x*(3+4^(-x)/sqrt(x^3)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $4^{x} \left(3 + \frac{4^{- x}}{\sqrt{x^{3}}}\right) = \frac{3 \cdot 4^{x} \sqrt{x^{3}} + 1}{\sqrt{x^{3}}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 \cdot 4^{x} \sqrt{x^{3}} + 1}{\sqrt{x^{3}}} = 3 \cdot 4^{x} + \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \cdot 4^{x}\, dx = 3 \int 4^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 4^{x}\, dx = \frac{4^{x}}{\log{\left(4 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \cdot 4^{x}}{\log{\left(4 \right)}}$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $- \frac{2 x}{\sqrt{x^{3}}}$

      El resultado es: $\frac{3 \cdot 4^{x}}{\log{\left(4 \right)}} - \frac{2 x}{\sqrt{x^{3}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $4^{x} \left(3 + \frac{4^{- x}}{\sqrt{x^{3}}}\right) = 3 \cdot 4^{x} + \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \cdot 4^{x}\, dx = 3 \int 4^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 4^{x}\, dx = \frac{4^{x}}{\log{\left(4 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \cdot 4^{x}}{\log{\left(4 \right)}}$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $- \frac{2 x}{\sqrt{x^{3}}}$

      El resultado es: $\frac{3 \cdot 4^{x}}{\log{\left(4 \right)}} - \frac{2 x}{\sqrt{x^{3}}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \cdot 4^{x}}{\log{\left(4 \right)}} - \frac{x \log{\left(16 \right)}}{\sqrt{x^{3}} \log{\left(4 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \cdot 4^{x}}{\log{\left(4 \right)}} - \frac{x \log{\left(16 \right)}}{\sqrt{x^{3}} \log{\left(4 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \cdot 4^{x}}{\log{\left(4 \right)}} - \frac{x \log{\left(16 \right)}}{\sqrt{x^{3}} \log{\left(4 \right)}}+ \mathrm{constant}$