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Resolución de integrales/ (2-x)/ (2x-3)/ (2x-3)ln(2-x)

Integral de (2x-3)ln(2-x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                        
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 |                         
 |  (2*x - 3)*log(2 - x) dx
 |                         
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0
∫01(2x−3)log⁡(2−x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(2 x - 3\right) \log{\left(2 - x \right)}\, dx 
Integral((2*x - 3)*log(2 - x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x−3)log⁡(2−x)=2xlog⁡(2−x)−3log⁡(2−x)\left(2 x - 3\right) \log{\left(2 - x \right)} = 2 x \log{\left(2 - x \right)} - 3 \log{\left(2 - x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xlog⁡(2−x) dx=2∫xlog⁡(2−x) dx\int 2 x \log{\left(2 - x \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(2 - x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(2−x)u{\left(x \right)} = \log{\left(2 - x \right)} y que dv⁡(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

          Entonces du⁡(x)=−12−x\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{2 - x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−x22(2−x)) dx=−∫x22−x dx2\int \left(- \frac{x^{2}}{2 \left(2 - x\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x^{2}}{2 - x}\, dx}{2}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            x22−x=−x−2−4x−2\frac{x^{2}}{2 - x} = - x - 2 - \frac{4}{x - 2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−x) dx=−∫x dx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

              1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −x22- \frac{x^{2}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫(−2) dx=−2x\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−4x−2) dx=−4∫1x−2 dx\int \left(- \frac{4}{x - 2}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

              1. que u=x−2u = x - 2.

                Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −4log⁡(x−2)- 4 \log{\left(x - 2 \right)}

            El resultado es: −x22−2x−4log⁡(x−2)- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 4 \log{\left(x - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: x24+x+2log⁡(x−2)\frac{x^{2}}{4} + x + 2 \log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(2−x)−x22−2x−4log⁡(x−2)x^{2} \log{\left(2 - x \right)} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 4 \log{\left(x - 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3log⁡(2−x)) dx=−3∫log⁡(2−x) dx\int \left(- 3 \log{\left(2 - x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \log{\left(2 - x \right)}\, dx

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=2−xu = 2 - x.

            Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

            ∫(−log⁡(u)) du\int \left(- \log{\left(u \right)}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫log⁡(u) du=−∫log⁡(u) du\int \log{\left(u \right)}\, du = - \int \log{\left(u \right)}\, du

              1. Usamos la integración por partes:

                ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

                que u(u)=log⁡(u)u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

                Entonces du⁡(u)=1u\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}.

                Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫1 du=u\int 1\, du = u

                Ahora resolvemos podintegral.

              2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫1 du=u\int 1\, du = u

              Por lo tanto, el resultado es: −ulog⁡(u)+u- u \log{\left(u \right)} + u

            Si ahora sustituir uu más en:

            −x−(2−x)log⁡(2−x)+2- x - \left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} + 2

          Método #2

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=log⁡(2−x)u{\left(x \right)} = \log{\left(2 - x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

            Entonces du⁡(x)=−12−x\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{2 - x}.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−x2−x) dx=−∫x2−x dx\int \left(- \frac{x}{2 - x}\right)\, dx = - \int \frac{x}{2 - x}\, dx

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              x2−x=−1−2x−2\frac{x}{2 - x} = -1 - \frac{2}{x - 2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−2x−2) dx=−2∫1x−2 dx\int \left(- \frac{2}{x - 2}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

                1. que u=x−2u = x - 2.

                  Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

                  ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(x−2)- 2 \log{\left(x - 2 \right)}

              El resultado es: −x−2log⁡(x−2)- x - 2 \log{\left(x - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: x+2log⁡(x−2)x + 2 \log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x+3(2−x)log⁡(2−x)−63 x + 3 \left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} - 6

      El resultado es: x2log⁡(2−x)−x22+x+3(2−x)log⁡(2−x)−4log⁡(x−2)−6x^{2} \log{\left(2 - x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x + 3 \left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} - 4 \log{\left(x - 2 \right)} - 6

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(2−x)u{\left(x \right)} = \log{\left(2 - x \right)} y que dv⁡(x)=2x−3\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 2 x - 3.

      Entonces du⁡(x)=−12−x\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{2 - x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2x dx=2∫x dx\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: x2x^{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−3) dx=−3x\int \left(-3\right)\, dx = - 3 x

        El resultado es: x2−3xx^{2} - 3 x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−x2−3x2−x) dx=−∫x2−3x2−x dx\int \left(- \frac{x^{2} - 3 x}{2 - x}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2} - 3 x}{2 - x}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x2−3x2−x=−x+1+2x−2\frac{x^{2} - 3 x}{2 - x} = - x + 1 + \frac{2}{x - 2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−x) dx=−∫x dx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −x22- \frac{x^{2}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2x−2 dx=2∫1x−2 dx\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

          1. que u=x−2u = x - 2.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(x−2)2 \log{\left(x - 2 \right)}

        El resultado es: −x22+x+2log⁡(x−2)- \frac{x^{2}}{2} + x + 2 \log{\left(x - 2 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: x22−x−2log⁡(x−2)\frac{x^{2}}{2} - x - 2 \log{\left(x - 2 \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x−3)log⁡(2−x)=2xlog⁡(2−x)−3log⁡(2−x)\left(2 x - 3\right) \log{\left(2 - x \right)} = 2 x \log{\left(2 - x \right)} - 3 \log{\left(2 - x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xlog⁡(2−x) dx=2∫xlog⁡(2−x) dx\int 2 x \log{\left(2 - x \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(2 - x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(2−x)u{\left(x \right)} = \log{\left(2 - x \right)} y que dv⁡(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

          Entonces du⁡(x)=−12−x\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{2 - x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−x22(2−x)) dx=−∫x22−x dx2\int \left(- \frac{x^{2}}{2 \left(2 - x\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x^{2}}{2 - x}\, dx}{2}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            x22−x=−x−2−4x−2\frac{x^{2}}{2 - x} = - x - 2 - \frac{4}{x - 2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−x) dx=−∫x dx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

              1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −x22- \frac{x^{2}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫(−2) dx=−2x\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−4x−2) dx=−4∫1x−2 dx\int \left(- \frac{4}{x - 2}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

              1. que u=x−2u = x - 2.

                Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −4log⁡(x−2)- 4 \log{\left(x - 2 \right)}

            El resultado es: −x22−2x−4log⁡(x−2)- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 4 \log{\left(x - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: x24+x+2log⁡(x−2)\frac{x^{2}}{4} + x + 2 \log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(2−x)−x22−2x−4log⁡(x−2)x^{2} \log{\left(2 - x \right)} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 4 \log{\left(x - 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3log⁡(2−x)) dx=−3∫log⁡(2−x) dx\int \left(- 3 \log{\left(2 - x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \log{\left(2 - x \right)}\, dx

        1. que u=2−xu = 2 - x.

          Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

          ∫(−log⁡(u)) du\int \left(- \log{\left(u \right)}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫log⁡(u) du=−∫log⁡(u) du\int \log{\left(u \right)}\, du = - \int \log{\left(u \right)}\, du

            1. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=log⁡(u)u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

              Entonces du⁡(u)=1u\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫1 du=u\int 1\, du = u

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            Por lo tanto, el resultado es: −ulog⁡(u)+u- u \log{\left(u \right)} + u

          Si ahora sustituir uu más en:

          −x−(2−x)log⁡(2−x)+2- x - \left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} + 2

        Por lo tanto, el resultado es: 3x+3(2−x)log⁡(2−x)−63 x + 3 \left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} - 6

      El resultado es: x2log⁡(2−x)−x22+x+3(2−x)log⁡(2−x)−4log⁡(x−2)−6x^{2} \log{\left(2 - x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x + 3 \left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} - 4 \log{\left(x - 2 \right)} - 6

  2. Ahora simplificar:

    x2log⁡(2−x)−x22+x−3(x−2)log⁡(2−x)−4log⁡(x−2)−6x^{2} \log{\left(2 - x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x - 3 \left(x - 2\right) \log{\left(2 - x \right)} - 4 \log{\left(x - 2 \right)} - 6

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2log⁡(2−x)−x22+x−3(x−2)log⁡(2−x)−4log⁡(x−2)−6+constantx^{2} \log{\left(2 - x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x - 3 \left(x - 2\right) \log{\left(2 - x \right)} - 4 \log{\left(x - 2 \right)} - 6+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2log⁡(2−x)−x22+x−3(x−2)log⁡(2−x)−4log⁡(x−2)−6+constantx^{2} \log{\left(2 - x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x - 3 \left(x - 2\right) \log{\left(2 - x \right)} - 4 \log{\left(x - 2 \right)} - 6+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                        2                                       
 |                                                        x     2                                  
 | (2*x - 3)*log(2 - x) dx = -6 + C + x - 4*log(-2 + x) - -- + x *log(2 - x) + 3*(2 - x)*log(2 - x)
 |                                                        2                                        
/
∫(2x−3)log⁡(2−x) dx=C+x2log⁡(2−x)−x22+x+3(2−x)log⁡(2−x)−4log⁡(x−2)−6\int \left(2 x - 3\right) \log{\left(2 - x \right)}\, dx = C + x^{2} \log{\left(2 - x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x + 3 \left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} - 4 \log{\left(x - 2 \right)} - 6
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902.5-2.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1/2 - 2*log(2)
12−2log⁡(2)\frac{1}{2} - 2 \log{\left(2 \right)} 
=
= 
1/2 - 2*log(2)
12−2log⁡(2)\frac{1}{2} - 2 \log{\left(2 \right)} 
1/2 - 2*log(2)
Respuesta numérica [src] 
-0.886294361119891
-0.886294361119891

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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