Integral de (6x-5)sin(-2x-5) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\left(6 x - 5\right) \sin{\left(- 2 x - 5 \right)} = - 6 x \sin{\left(2 x + 5 \right)} + 5 \sin{\left(2 x + 5 \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 6 x \sin{\left(2 x + 5 \right)}\right)\, dx = - 6 \int x \sin{\left(2 x + 5 \right)}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x + 5 \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = 2 x + 5$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos{\left(2 x + 5 \right)}}{2}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x + 5 \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x + 5 \right)}\, dx}{2}$

         1. que $u = 2 x + 5$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(2 x + 5 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x + 5 \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $3 x \cos{\left(2 x + 5 \right)} - \frac{3 \sin{\left(2 x + 5 \right)}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 5 \sin{\left(2 x + 5 \right)}\, dx = 5 \int \sin{\left(2 x + 5 \right)}\, dx$

      1. que $u = 2 x + 5$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos{\left(2 x + 5 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 \cos{\left(2 x + 5 \right)}}{2}$

   El resultado es: $3 x \cos{\left(2 x + 5 \right)} - \frac{3 \sin{\left(2 x + 5 \right)}}{2} - \frac{5 \cos{\left(2 x + 5 \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $3 x \cos{\left(2 x + 5 \right)} - \frac{3 \sin{\left(2 x + 5 \right)}}{2} - \frac{5 \cos{\left(2 x + 5 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 x \cos{\left(2 x + 5 \right)} - \frac{3 \sin{\left(2 x + 5 \right)}}{2} - \frac{5 \cos{\left(2 x + 5 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$