Integral de (y-1)/(y^1/2+1) dy

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{y}$.

      Luego que $du = \frac{dy}{2 \sqrt{y}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u^{2} - 2 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u\right)\, du = - 2 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2}$

         El resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} - u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - y$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{y - 1}{\sqrt{y} + 1} = \frac{y}{\sqrt{y} + 1} - \frac{1}{\sqrt{y} + 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \sqrt{y}$.

         Luego que $du = \frac{dy}{2 \sqrt{y}}$ y ponemos $2 du$:

         $\int \frac{2 u^{3}}{u + 1}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{3}}{u + 1}\, du = 2 \int \frac{u^{3}}{u + 1}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u^{3}}{u + 1} = u^{2} - u + 1 - \frac{1}{u + 1}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

                  1. que $u = u + 1$.

                     Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u + 1 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u + 1 \right)}$

               El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{2}}{2} + u - \log{\left(u + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} - u^{2} + 2 u - 2 \log{\left(u + 1 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{y} - y - 2 \log{\left(\sqrt{y} + 1 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{y} + 1}\right)\, dy = - \int \frac{1}{\sqrt{y} + 1}\, dy$

         1. que $u = \sqrt{y}$.

            Luego que $du = \frac{dy}{2 \sqrt{y}}$ y ponemos $2 du$:

            $\int \frac{2 u}{u + 1}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u}{u + 1}\, du = 2 \int \frac{u}{u + 1}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

                     1. que $u = u + 1$.

                        Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                        $\int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\log{\left(u + 1 \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u + 1 \right)}$

                  El resultado es: $u - \log{\left(u + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 u - 2 \log{\left(u + 1 \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 \sqrt{y} - 2 \log{\left(\sqrt{y} + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{y} + 2 \log{\left(\sqrt{y} + 1 \right)}$

      El resultado es: $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - y$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - y+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - y+ \mathrm{constant}$