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Resolución de integrales/ (3x-1)/ sin(9x)/ (3x-1)sin(9x)

Integral de (3x-1)sin(9x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
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 |  (3*x - 1)*sin(9*x) dx
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0
∫01(3x−1)sin⁡(9x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(3 x - 1\right) \sin{\left(9 x \right)}\, dx 
Integral((3*x - 1)*sin(9*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=3xu = 3 x.

      Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos dudu:

      ∫(usin⁡(3u)3−sin⁡(3u)3) du\int \left(\frac{u \sin{\left(3 u \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(3 u \right)}}{3}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫usin⁡(3u)3 du=∫usin⁡(3u) du3\int \frac{u \sin{\left(3 u \right)}}{3}\, du = \frac{\int u \sin{\left(3 u \right)}\, du}{3}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=sin⁡(3u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(3 u \right)}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=3uu = 3 u.

              Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

              ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(3u)3- \frac{\cos{\left(3 u \right)}}{3}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(3u)3) du=−∫cos⁡(3u) du3\int \left(- \frac{\cos{\left(3 u \right)}}{3}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(3 u \right)}\, du}{3}

            1. que u=3uu = 3 u.

              Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

              ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(3u)3\frac{\sin{\left(3 u \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(3u)9- \frac{\sin{\left(3 u \right)}}{9}

          Por lo tanto, el resultado es: −ucos⁡(3u)9+sin⁡(3u)27- \frac{u \cos{\left(3 u \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(3 u \right)}}{27}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡(3u)3) du=−∫sin⁡(3u) du3\int \left(- \frac{\sin{\left(3 u \right)}}{3}\right)\, du = - \frac{\int \sin{\left(3 u \right)}\, du}{3}

          1. que u=3uu = 3 u.

            Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(3u)3- \frac{\cos{\left(3 u \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(3u)9\frac{\cos{\left(3 u \right)}}{9}

        El resultado es: −ucos⁡(3u)9+sin⁡(3u)27+cos⁡(3u)9- \frac{u \cos{\left(3 u \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(3 u \right)}}{27} + \frac{\cos{\left(3 u \right)}}{9}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −xcos⁡(9x)3+sin⁡(9x)27+cos⁡(9x)9- \frac{x \cos{\left(9 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{27} + \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x−1)sin⁡(9x)=3xsin⁡(9x)−sin⁡(9x)\left(3 x - 1\right) \sin{\left(9 x \right)} = 3 x \sin{\left(9 x \right)} - \sin{\left(9 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xsin⁡(9x) dx=3∫xsin⁡(9x) dx\int 3 x \sin{\left(9 x \right)}\, dx = 3 \int x \sin{\left(9 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(9x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(9 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=9xu = 9 x.

            Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

            ∫sin⁡(u)9 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du9\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{9}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)9- \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(9x)9- \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(9x)9) dx=−∫cos⁡(9x) dx9\int \left(- \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(9 x \right)}\, dx}{9}

          1. que u=9xu = 9 x.

            Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

            ∫cos⁡(u)9 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du9\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{9}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)9\frac{\sin{\left(u \right)}}{9}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(9x)9\frac{\sin{\left(9 x \right)}}{9}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(9x)81- \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{81}

        Por lo tanto, el resultado es: −xcos⁡(9x)3+sin⁡(9x)27- \frac{x \cos{\left(9 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{27}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(9x)) dx=−∫sin⁡(9x) dx\int \left(- \sin{\left(9 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(9 x \right)}\, dx

        1. que u=9xu = 9 x.

          Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

          ∫sin⁡(u)9 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du9\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{9}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)9- \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(9x)9- \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(9x)9\frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}

      El resultado es: −xcos⁡(9x)3+sin⁡(9x)27+cos⁡(9x)9- \frac{x \cos{\left(9 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{27} + \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=3x−1u{\left(x \right)} = 3 x - 1 y que dv⁡(x)=sin⁡(9x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(9 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=3\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=9xu = 9 x.

        Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

        ∫sin⁡(u)9 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du9\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{9}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)9- \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(9x)9- \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−cos⁡(9x)3) dx=−∫cos⁡(9x) dx3\int \left(- \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(9 x \right)}\, dx}{3}

      1. que u=9xu = 9 x.

        Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

        ∫cos⁡(u)9 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du9\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{9}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)9\frac{\sin{\left(u \right)}}{9}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(9x)9\frac{\sin{\left(9 x \right)}}{9}

      Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(9x)27- \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{27}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x−1)sin⁡(9x)=3xsin⁡(9x)−sin⁡(9x)\left(3 x - 1\right) \sin{\left(9 x \right)} = 3 x \sin{\left(9 x \right)} - \sin{\left(9 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xsin⁡(9x) dx=3∫xsin⁡(9x) dx\int 3 x \sin{\left(9 x \right)}\, dx = 3 \int x \sin{\left(9 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(9x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(9 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=9xu = 9 x.

            Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

            ∫sin⁡(u)9 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du9\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{9}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)9- \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(9x)9- \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(9x)9) dx=−∫cos⁡(9x) dx9\int \left(- \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(9 x \right)}\, dx}{9}

          1. que u=9xu = 9 x.

            Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

            ∫cos⁡(u)9 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du9\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{9}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)9\frac{\sin{\left(u \right)}}{9}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(9x)9\frac{\sin{\left(9 x \right)}}{9}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(9x)81- \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{81}

        Por lo tanto, el resultado es: −xcos⁡(9x)3+sin⁡(9x)27- \frac{x \cos{\left(9 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{27}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(9x)) dx=−∫sin⁡(9x) dx\int \left(- \sin{\left(9 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(9 x \right)}\, dx

        1. que u=9xu = 9 x.

          Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

          ∫sin⁡(u)9 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du9\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{9}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)9- \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(9x)9- \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(9x)9\frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}

      El resultado es: −xcos⁡(9x)3+sin⁡(9x)27+cos⁡(9x)9- \frac{x \cos{\left(9 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{27} + \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −xcos⁡(9x)3+sin⁡(9x)27+cos⁡(9x)9+constant- \frac{x \cos{\left(9 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{27} + \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xcos⁡(9x)3+sin⁡(9x)27+cos⁡(9x)9+constant- \frac{x \cos{\left(9 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{27} + \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                             cos(9*x)   sin(9*x)   x*cos(9*x)
 | (3*x - 1)*sin(9*x) dx = C + -------- + -------- - ----------
 |                                9          27          3     
/
∫(3x−1)sin⁡(9x) dx=C−xcos⁡(9x)3+sin⁡(9x)27+cos⁡(9x)9\int \left(3 x - 1\right) \sin{\left(9 x \right)}\, dx = C - \frac{x \cos{\left(9 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{27} + \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902.5-2.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1   2*cos(9)   sin(9)
- - - -------- + ------
  9      9         27
−19+sin⁡(9)27−2cos⁡(9)9- \frac{1}{9} + \frac{\sin{\left(9 \right)}}{27} - \frac{2 \cos{\left(9 \right)}}{9} 
=
= 
  1   2*cos(9)   sin(9)
- - - -------- + ------
  9      9         27
−19+sin⁡(9)27−2cos⁡(9)9- \frac{1}{9} + \frac{\sin{\left(9 \right)}}{27} - \frac{2 \cos{\left(9 \right)}}{9} 
-1/9 - 2*cos(9)/9 + sin(9)/27
Respuesta numérica [src] 
0.106625928020364
0.106625928020364

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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