Integral de (2*cos(x)+3*)sin(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- 2 u - 3\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u\right)\, du = - 2 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-3\right)\, du = - 3 u$

         El resultado es: $- u^{2} - 3 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 \cos{\left(x \right)} + 3\right) \sin{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \sin{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \cos{\left(x \right)}$

      El resultado es: $- \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 \cos{\left(x \right)} + 3\right) \sin{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \sin{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \cos{\left(x \right)}$

      El resultado es: $- \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} - 1$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} - 1+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} - 1+ \mathrm{constant}$