Integral de tg(2-x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\tan{\left(2 - x \right)} = - \frac{\sin{\left(x - 2 \right)}}{\cos{\left(x - 2 \right)}}$

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(- \frac{\sin{\left(x - 2 \right)}}{\cos{\left(x - 2 \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(x - 2 \right)}}{\cos{\left(x - 2 \right)}}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \cos{\left(x - 2 \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x - 2 \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \log{\left(\cos{\left(x - 2 \right)} \right)}$

      Método #2

      1. que $u = x - 2$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du$

         1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \log{\left(\cos{\left(x - 2 \right)} \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(\cos{\left(x - 2 \right)} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(\cos{\left(x - 2 \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(\cos{\left(x - 2 \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$