Integral de sqr(1+x^2+3y) ds

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 y + \left(x^{2} + 1\right)$.

      Luego que $du = 3 dy$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{2}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(3 y + \left(x^{2} + 1\right)\right)^{3}}{9}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3 y + \left(x^{2} + 1\right)\right)^{2} = x^{4} + 2 x^{2} + 9 y^{2} + y \left(6 x^{2} + 6\right) + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int x^{4}\, dy = x^{4} y$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 2 x^{2}\, dy = 2 x^{2} y$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9 y^{2}\, dy = 9 \int y^{2}\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 y^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int y \left(6 x^{2} + 6\right)\, dy = \left(6 x^{2} + 6\right) \int y\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{y^{2} \left(6 x^{2} + 6\right)}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dy = y$

      El resultado es: $x^{4} y + 2 x^{2} y + 3 y^{3} + \frac{y^{2} \left(6 x^{2} + 6\right)}{2} + y$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3 y + \left(x^{2} + 1\right)\right)^{2} = x^{4} + 6 x^{2} y + 2 x^{2} + 9 y^{2} + 6 y + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int x^{4}\, dy = x^{4} y$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 x^{2} y\, dy = 6 x^{2} \int y\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{2} y^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 2 x^{2}\, dy = 2 x^{2} y$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9 y^{2}\, dy = 9 \int y^{2}\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 y^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 y\, dy = 6 \int y\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 y^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dy = y$

      El resultado es: $x^{4} y + 3 x^{2} y^{2} + 2 x^{2} y + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{2} + 3 y + 1\right)^{3}}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} + 3 y + 1\right)^{3}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} + 3 y + 1\right)^{3}}{9}+ \mathrm{constant}$