Integral de ln(xe^3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{3} x$.

      Luego que $du = e^{3} dx$ y ponemos $\frac{du}{e^{3}}$:

      $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{e^{3}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \log{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{e^{3}}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \log{\left(u \right)} - u}{e^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x e^{3} \log{\left(e^{3} x \right)} - x e^{3}}{e^{3}}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(e^{3} x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

2. Ahora simplificar:

   $x \left(\log{\left(x \right)} + 2\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \left(\log{\left(x \right)} + 2\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \left(\log{\left(x \right)} + 2\right)+ \mathrm{constant}$