Integral de 2/(1-2x) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{2}{1 - 2 x}\, dx = 2 \int \frac{1}{1 - 2 x}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 1 - 2 x$.

         Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\log{\left(1 - 2 x \right)}}{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{1 - 2 x} = - \frac{1}{2 x - 1}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{2 x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{2 x - 1}\, dx$

         1. que $u = 2 x - 1$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{1 - 2 x} = - \frac{1}{2 x - 1}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{2 x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{2 x - 1}\, dx$

         1. que $u = 2 x - 1$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(1 - 2 x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \log{\left(1 - 2 x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \log{\left(1 - 2 x \right)}+ \mathrm{constant}$