Sr Examen
Integral de 1/cos2x dx
Solución
Ha introducido
[src]
pi -- 3 / | | 1 | -------- dx | cos(2*x) | / 0
$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}}\, dx$$
Integral(1/cos(2*x), (x, 0, pi/3))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 1 | -------- dx | cos(2*x) | /
La función subintegral
1 -------- cos(2*x)
Multiplicamos numerador y denominador por
cos(2*x)
obtendremos
1 cos(2*x)
-------- = ---------
cos(2*x) 2
cos (2*x)Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
2 2 cos (2*x) = 1 - sin (2*x)
cambiamos denominador
cos(2*x) cos(2*x) --------- = ------------- 2 2 cos (2*x) 1 - sin (2*x)
hacemos el cambio
u = sin(2*x)
entonces integral
/ | | cos(2*x) | ------------- dx | 2 = | 1 - sin (2*x) | /
/ | | cos(2*x) | ------------- dx | 2 = | 1 - sin (2*x) | /
Como du = 2*dx*cos(2*x)
/ | | 1 | ---------- du | / 2\ | 2*\1 - u / | /
Reescribimos la función subintegral
1 1 / 1 1 \ ---------- = ---*|----- + -----| / 2\ 2*2 \1 - u 1 + u/ 2*\1 - u /
entonces
/ /
| |
| 1 | 1
| ----- du | ----- du
/ | 1 + u | 1 - u
| | |
| 1 / / =
| ---------- du = ----------- + -----------
| / 2\ 4 4
| 2*\1 - u /
|
/
= -log(-1 + u)/4 + log(1 + u)/4
hacemos cambio inverso
u = sin(2*x)
Respuesta
/ | | 1 log(-1 + sin(2*x)) log(1 + sin(2*x)) | -------- dx = - ------------------ + ----------------- + C0 | cos(2*x) 4 4 | /
donde C0 es la constante que no depende de x
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | | 1 log(-1 + sin(2*x)) log(1 + sin(2*x)) | -------- dx = C - ------------------ + ----------------- | cos(2*x) 4 4 | /
$$\int \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}}\, dx = C - \frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} + 1 \right)}}{4}$$
Gráfica
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.