Integral de pi((sqtrx+2)-(2x+1))^2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \pi \left(\left(\sqrt{x} + 2\right) + \left(- 2 x - 1\right)\right)^{2}\, dx = \pi \int \left(\left(\sqrt{x} + 2\right) + \left(- 2 x - 1\right)\right)^{2}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \sqrt{x}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(8 u^{5} - 8 u^{4} - 6 u^{3} + 4 u^{2} + 2 u\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 8 u^{5}\, du = 8 \int u^{5}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{6}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 8 u^{4}\right)\, du = - 8 \int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 u^{5}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 6 u^{3}\right)\, du = - 6 \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{4}}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 u^{2}\, du = 4 \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

            El resultado es: $\frac{4 u^{6}}{3} - \frac{8 u^{5}}{5} - \frac{3 u^{4}}{2} + \frac{4 u^{3}}{3} + u^{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + x$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\left(\sqrt{x} + 2\right) + \left(- 2 x - 1\right)\right)^{2} = - 4 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x} + 4 x^{2} - 3 x + 1$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 x^{\frac{3}{2}}\right)\, dx = - 4 \int x^{\frac{3}{2}}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 \sqrt{x}\, dx = 2 \int \sqrt{x}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 x^{2}\, dx = 4 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 x\right)\, dx = - 3 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         El resultado es: $- \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + x$

   Por lo tanto, el resultado es: $\pi \left(- \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + x\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\pi \left(- 48 x^{\frac{5}{2}} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 40 x^{3} - 45 x^{2} + 30 x\right)}{30}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\pi \left(- 48 x^{\frac{5}{2}} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 40 x^{3} - 45 x^{2} + 30 x\right)}{30}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\pi \left(- 48 x^{\frac{5}{2}} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 40 x^{3} - 45 x^{2} + 30 x\right)}{30}+ \mathrm{constant}$