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Resolución de integrales/ 3sinx/ (1-3sinx)^2*dx

Integral de (1-3sinx)^2*dx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
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 |  (1 - 3*sin(x))  dx
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0
∫01(1−3sin⁡(x))2 dx\int\limits_{0}^{1} \left(1 - 3 \sin{\left(x \right)}\right)^{2}\, dx 
Integral((1 - 3*sin(x))^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−3sin⁡(x))2=9sin⁡2(x)−6sin⁡(x)+1\left(1 - 3 \sin{\left(x \right)}\right)^{2} = 9 \sin^{2}{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)} + 1

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫9sin⁡2(x) dx=9∫sin⁡2(x) dx\int 9 \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = 9 \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 9x2−9sin⁡(2x)4\frac{9 x}{2} - \frac{9 \sin{\left(2 x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−6sin⁡(x)) dx=−6∫sin⁡(x) dx\int \left(- 6 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 6cos⁡(x)6 \cos{\left(x \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: 11x2−9sin⁡(2x)4+6cos⁡(x)\frac{11 x}{2} - \frac{9 \sin{\left(2 x \right)}}{4} + 6 \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−3sin⁡(x))2=9sin⁡2(x)−6sin⁡(x)+1\left(1 - 3 \sin{\left(x \right)}\right)^{2} = 9 \sin^{2}{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)} + 1

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫9sin⁡2(x) dx=9∫sin⁡2(x) dx\int 9 \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = 9 \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 9x2−9sin⁡(2x)4\frac{9 x}{2} - \frac{9 \sin{\left(2 x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−6sin⁡(x)) dx=−6∫sin⁡(x) dx\int \left(- 6 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 6cos⁡(x)6 \cos{\left(x \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: 11x2−9sin⁡(2x)4+6cos⁡(x)\frac{11 x}{2} - \frac{9 \sin{\left(2 x \right)}}{4} + 6 \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    11x2−9sin⁡(2x)4+6cos⁡(x)+constant\frac{11 x}{2} - \frac{9 \sin{\left(2 x \right)}}{4} + 6 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

11x2−9sin⁡(2x)4+6cos⁡(x)+constant\frac{11 x}{2} - \frac{9 \sin{\left(2 x \right)}}{4} + 6 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |               2                     9*sin(2*x)   11*x
 | (1 - 3*sin(x))  dx = C + 6*cos(x) - ---------- + ----
 |                                         4         2  
/
∫(1−3sin⁡(x))2 dx=C+11x2−9sin⁡(2x)4+6cos⁡(x)\int \left(1 - 3 \sin{\left(x \right)}\right)^{2}\, dx = C + \frac{11 x}{2} - \frac{9 \sin{\left(2 x \right)}}{4} + 6 \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                     2           2                     
                9*cos (1)   9*sin (1)   9*cos(1)*sin(1)
-5 + 6*cos(1) + --------- + --------- - ---------------
                    2           2              2
−5−9sin⁡(1)cos⁡(1)2+9cos⁡2(1)2+9sin⁡2(1)2+6cos⁡(1)-5 - \frac{9 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{9 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{9 \sin^{2}{\left(1 \right)}}{2} + 6 \cos{\left(1 \right)} 
=
= 
                     2           2                     
                9*cos (1)   9*sin (1)   9*cos(1)*sin(1)
-5 + 6*cos(1) + --------- + --------- - ---------------
                    2           2              2
−5−9sin⁡(1)cos⁡(1)2+9cos⁡2(1)2+9sin⁡2(1)2+6cos⁡(1)-5 - \frac{9 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{9 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{9 \sin^{2}{\left(1 \right)}}{2} + 6 \cos{\left(1 \right)} 
-5 + 6*cos(1) + 9*cos(1)^2/2 + 9*sin(1)^2/2 - 9*cos(1)*sin(1)/2
Respuesta numérica [src] 
0.695894624851054
0.695894624851054

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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