Integral de (cos(2x)*sin(x))/(1+cos(x)) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} = \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{u^{2}}{u + 1}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{2}}{u + 1}\, du = - \int \frac{u^{2}}{u + 1}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u^{2}}{u + 1} = u - 1 + \frac{1}{u + 1}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \left(-1\right)\, du = - u$

               1. que $u = u + 1$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u + 1 \right)}$

               El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} - u + \log{\left(u + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2} + u - \log{\left(u + 1 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)} + 1$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}$

   El resultado es: $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$