Integral de ((1+sqrt(x))^3)/(x^(-1/3)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u^{\frac{14}{3}} + 6 u^{\frac{11}{3}} + 6 u^{\frac{8}{3}} + 2 u^{\frac{5}{3}}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{\frac{14}{3}}\, du = 2 \int u^{\frac{14}{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{14}{3}}\, du = \frac{3 u^{\frac{17}{3}}}{17}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 u^{\frac{17}{3}}}{17}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 u^{\frac{11}{3}}\, du = 6 \int u^{\frac{11}{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{11}{3}}\, du = \frac{3 u^{\frac{14}{3}}}{14}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 u^{\frac{14}{3}}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 u^{\frac{8}{3}}\, du = 6 \int u^{\frac{8}{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{8}{3}}\, du = \frac{3 u^{\frac{11}{3}}}{11}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{18 u^{\frac{11}{3}}}{11}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{\frac{5}{3}}\, du = 2 \int u^{\frac{5}{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{5}{3}}\, du = \frac{3 u^{\frac{8}{3}}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{\frac{8}{3}}}{4}$

         El resultado es: $\frac{6 u^{\frac{17}{3}}}{17} + \frac{9 u^{\frac{14}{3}}}{7} + \frac{18 u^{\frac{11}{3}}}{11} + \frac{3 u^{\frac{8}{3}}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{6 x^{\frac{17}{6}}}{17} + \frac{18 x^{\frac{11}{6}}}{11} + \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\sqrt{x} + 1\right)^{3}}{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}} = x^{\frac{11}{6}} + 3 x^{\frac{5}{6}} + 3 x^{\frac{4}{3}} + \sqrt[3]{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{11}{6}}\, dx = \frac{6 x^{\frac{17}{6}}}{17}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{\frac{5}{6}}\, dx = 3 \int x^{\frac{5}{6}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{5}{6}}\, dx = \frac{6 x^{\frac{11}{6}}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{18 x^{\frac{11}{6}}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{\frac{4}{3}}\, dx = 3 \int x^{\frac{4}{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{4}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \sqrt[3]{x}\, dx = \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

      El resultado es: $\frac{6 x^{\frac{17}{6}}}{17} + \frac{18 x^{\frac{11}{6}}}{11} + \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{6 x^{\frac{17}{6}}}{17} + \frac{18 x^{\frac{11}{6}}}{11} + \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{6 x^{\frac{17}{6}}}{17} + \frac{18 x^{\frac{11}{6}}}{11} + \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}+ \mathrm{constant}$