Integral de x^3/3(1+x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{u^{2}}{6} + \frac{u}{6}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{2}}{6}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{6}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{18}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{6}\, du = \frac{\int u\, du}{6}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{12}$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{18} + \frac{u^{2}}{12}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{6}}{18} + \frac{x^{4}}{12}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3}}{3} \left(x^{2} + 1\right) = \frac{x^{5}}{3} + \frac{x^{3}}{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{5}}{3}\, dx = \frac{\int x^{5}\, dx}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{6}}{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{3}}{3}\, dx = \frac{\int x^{3}\, dx}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{12}$

      El resultado es: $\frac{x^{6}}{18} + \frac{x^{4}}{12}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{6}}{18} + \frac{x^{4}}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{6}}{18} + \frac{x^{4}}{12}+ \mathrm{constant}$