Integral de sin(x^(1/4))/x^(3/4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[4]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $4 du$:

      $\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \cos{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 4 \cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}$

   Método #2

   1. que $u = x^{\frac{3}{4}}$.

      Luego que $du = \frac{3 dx}{4 \sqrt[4]{x}}$ y ponemos $\frac{4 du}{3}$:

      $\int \frac{4 \sin{\left(\sqrt[3]{u} \right)}}{3 u^{\frac{2}{3}}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(\sqrt[3]{u} \right)}}{u^{\frac{2}{3}}}\, du = \frac{4 \int \frac{\sin{\left(\sqrt[3]{u} \right)}}{u^{\frac{2}{3}}}\, du}{3}$

         1. que $u = \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}$.

            Luego que $du = - \frac{2 du}{3 u^{\frac{5}{3}}}$ y ponemos $- \frac{3 du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{3 \sin{\left(\frac{1}{\sqrt{u}} \right)}}{2 u^{\frac{3}{2}}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\sin{\left(\frac{1}{\sqrt{u}} \right)}}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = - \frac{3 \int \frac{\sin{\left(\frac{1}{\sqrt{u}} \right)}}{u^{\frac{3}{2}}}\, du}{2}$

               1. que $u = \frac{1}{\sqrt{u}}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{2 u^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

                  $\int \left(- 2 \sin{\left(u \right)}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

                     1. La integral del seno es un coseno menos:

                        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $2 \cos{\left(u \right)}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $2 \cos{\left(\frac{1}{\sqrt{u}} \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \cos{\left(\frac{1}{\sqrt{u}} \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 3 \cos{\left(\sqrt[3]{u} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \cos{\left(\sqrt[3]{u} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 4 \cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 4 \cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 4 \cos{\left(\sqrt[4]{x} \right)}+ \mathrm{constant}$