Integral de cos(2x)*sin(y-x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sin{\left(- x + y \right)} \cos{\left(2 x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(y \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(y \right)} + 2 \sin{\left(y \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - \sin{\left(y \right)} \cos{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(y \right)}\right)\, dx = - 2 \cos{\left(y \right)} \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(y \right)}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(y \right)}\, dx = \cos{\left(y \right)} \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \cos{\left(x \right)} \cos{\left(y \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \sin{\left(y \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \sin{\left(y \right)} \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

         Método #3

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \left(- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(y \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \sin{\left(y \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \sin{\left(y \right)} \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(y \right)}$

   El resultado es: $2 \left(- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(y \right)} - \sin{\left(x \right)} \sin{\left(y \right)} + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(y \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)} \cos{\left(y \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $- \frac{\cos{\left(x + y \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(3 x - y \right)}}{6}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\cos{\left(x + y \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(3 x - y \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\cos{\left(x + y \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(3 x - y \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$