Integral de ln(x/y) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{x}{y}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{y}$ y ponemos $du y$:

      $\int y \log{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \log{\left(u \right)}\, du = y \int \log{\left(u \right)}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $y \left(u \log{\left(u \right)} - u\right)$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $y \left(\frac{x \log{\left(\frac{x}{y} \right)}}{y} - \frac{x}{y}\right)$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x}{y} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

2. Ahora simplificar:

   $x \left(\log{\left(\frac{x}{y} \right)} - 1\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \left(\log{\left(\frac{x}{y} \right)} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \left(\log{\left(\frac{x}{y} \right)} - 1\right)+ \mathrm{constant}$