Integral de xcos(x/2) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. que $u = \frac{x}{2}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$

   1. que $u = \frac{x}{2}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \cos{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$