Integral de (x^3-x+1)ln(3x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u^{3} \log{\left(- u \right)} + u^{3} \log{\left(3 \right)} - u \log{\left(- u \right)} - u \log{\left(3 \right)} - \log{\left(- u \right)} - \log{\left(3 \right)}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. que $u = - u$.

            Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

            $\int u^{3} \log{\left(u \right)}\, du$

            1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

               $\int u e^{4 u}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. que $u = 4 u$.

                     Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                     $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\text{False}$

                        1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                           $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{e^{4 u}}{4}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}$

                  1. que $u = 4 u$.

                     Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                     $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\text{False}$

                        1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                           $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{e^{4 u}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{4 u}}{16}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{u^{4} \log{\left(u \right)}}{4} - \frac{u^{4}}{16}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{u^{4} \log{\left(- u \right)}}{4} - \frac{u^{4}}{16}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{3} \log{\left(3 \right)}\, du = \log{\left(3 \right)} \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4} \log{\left(3 \right)}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- u \log{\left(- u \right)}\right)\, du = - \int u \log{\left(- u \right)}\, du$

            1. que $u = - u$.

               Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

               $\int u \log{\left(u \right)}\, du$

               1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

                  Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

                  $\int u e^{2 u}\, du$

                  1. Usamos la integración por partes:

                     $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                     que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

                     Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                     Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                     1. que $u = 2 u$.

                        Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\text{False}$

                           1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                              $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{e^{2 u}}{2}$

                     Ahora resolvemos podintegral.

                  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

                     1. que $u = 2 u$.

                        Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\text{False}$

                           1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                              $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{e^{2 u}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{u^{2} \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{u^{2}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{u^{2} \log{\left(- u \right)}}{2} - \frac{u^{2}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2} \log{\left(- u \right)}}{2} + \frac{u^{2}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- u \log{\left(3 \right)}\right)\, du = - \log{\left(3 \right)} \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2} \log{\left(3 \right)}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \log{\left(- u \right)}\right)\, du = - \int \log{\left(- u \right)}\, du$

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. que $u = - u$.

                  Luego que $du = - du$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- \log{\left(u \right)}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \log{\left(u \right)}\, du = - \int \log{\left(u \right)}\, du$

                     1. Usamos la integración por partes:

                        $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                        que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                        Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

                        Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int 1\, du = u$

                        Ahora resolvemos podintegral.

                     2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- u \log{\left(u \right)} + u$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $u \log{\left(- u \right)} - u$

               Método #2

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = \log{\left(- u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

            Por lo tanto, el resultado es: $- u \log{\left(- u \right)} + u$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(- \log{\left(3 \right)}\right)\, du = - u \log{\left(3 \right)}$

         El resultado es: $\frac{u^{4} \log{\left(- u \right)}}{4} - \frac{u^{4}}{16} + \frac{u^{4} \log{\left(3 \right)}}{4} - \frac{u^{2} \log{\left(- u \right)}}{2} - \frac{u^{2} \log{\left(3 \right)}}{2} + \frac{u^{2}}{4} - u \log{\left(- u \right)} - u \log{\left(3 \right)} + u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{4} \log{\left(3 \right)}}{4} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(3 \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)} - x + x \log{\left(3 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\left(x^{3} - x\right) + 1\right) \log{\left(3 x \right)} = x^{3} \log{\left(x \right)} + x^{3} \log{\left(3 \right)} - x \log{\left(x \right)} - x \log{\left(3 \right)} + \log{\left(x \right)} + \log{\left(3 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{4 u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 4 u$.

               Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{4 u}}{4}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}$

            1. que $u = 4 u$.

               Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{4 u}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{4 u}}{16}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int x^{3} \log{\left(3 \right)}\, dx = \log{\left(3 \right)} \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4} \log{\left(3 \right)}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int x \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{2 u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x \log{\left(3 \right)}\right)\, dx = - \log{\left(3 \right)} \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2} \log{\left(3 \right)}}{2}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \log{\left(3 \right)}\, dx = x \log{\left(3 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{4} \log{\left(3 \right)}}{4} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(3 \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)} - x + x \log{\left(3 \right)}$

   Método #3

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(3 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \left(x^{3} - x\right) + 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} + x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} + x}{x} = \frac{x^{3}}{4} - \frac{x}{2} + 1$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{3}}{4}\, dx = \frac{\int x^{3}\, dx}{4}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{4}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{16} - \frac{x^{2}}{4} + x$

   Método #4

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\left(x^{3} - x\right) + 1\right) \log{\left(3 x \right)} = x^{3} \log{\left(x \right)} + x^{3} \log{\left(3 \right)} - x \log{\left(x \right)} - x \log{\left(3 \right)} + \log{\left(x \right)} + \log{\left(3 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{4 u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 4 u$.

               Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{4 u}}{4}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}$

            1. que $u = 4 u$.

               Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{4 u}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{4 u}}{16}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int x^{3} \log{\left(3 \right)}\, dx = \log{\left(3 \right)} \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4} \log{\left(3 \right)}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int x \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{2 u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x \log{\left(3 \right)}\right)\, dx = - \log{\left(3 \right)} \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2} \log{\left(3 \right)}}{2}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \log{\left(3 \right)}\, dx = x \log{\left(3 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{4} \log{\left(3 \right)}}{4} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(3 \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)} - x + x \log{\left(3 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(4 x^{3} \log{\left(x \right)} - x^{3} + x^{3} \log{\left(81 \right)} - 8 x \log{\left(x \right)} - x \log{\left(6561 \right)} + 4 x + 16 \log{\left(x \right)} - 16 + \log{\left(43046721 \right)}\right)}{16}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(4 x^{3} \log{\left(x \right)} - x^{3} + x^{3} \log{\left(81 \right)} - 8 x \log{\left(x \right)} - x \log{\left(6561 \right)} + 4 x + 16 \log{\left(x \right)} - 16 + \log{\left(43046721 \right)}\right)}{16}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(4 x^{3} \log{\left(x \right)} - x^{3} + x^{3} \log{\left(81 \right)} - 8 x \log{\left(x \right)} - x \log{\left(6561 \right)} + 4 x + 16 \log{\left(x \right)} - 16 + \log{\left(43046721 \right)}\right)}{16}+ \mathrm{constant}$