Integral de sin(4x)*sin(5x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sin{\left(4 x \right)} \sin{\left(5 x \right)} = - 128 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 224 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 120 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 20 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 128 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 128 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{8}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{128 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 224 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 224 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{6}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $32 \sin^{7}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 120 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 120 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 24 \sin^{5}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 20 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 20 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{20 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   El resultado es: $- \frac{128 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} + 32 \sin^{7}{\left(x \right)} - 24 \sin^{5}{\left(x \right)} + \frac{20 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{4 \left(- 32 \sin^{6}{\left(x \right)} + 72 \sin^{4}{\left(x \right)} - 54 \sin^{2}{\left(x \right)} + 15\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{9}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 \left(- 32 \sin^{6}{\left(x \right)} + 72 \sin^{4}{\left(x \right)} - 54 \sin^{2}{\left(x \right)} + 15\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \left(- 32 \sin^{6}{\left(x \right)} + 72 \sin^{4}{\left(x \right)} - 54 \sin^{2}{\left(x \right)} + 15\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$