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Resolución de integrales/ ln(x)/ (4x-1)/ (4x-1)*ln(x)

Integral de (4x-1)*ln(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  2                    
  /                    
 |                     
 |  (4*x - 1)*log(x) dx
 |                     
/                      
0
∫02(4x−1)log⁡(x) dx\int\limits_{0}^{2} \left(4 x - 1\right) \log{\left(x \right)}\, dx 
Integral((4*x - 1)*log(x), (x, 0, 2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫(4ue2u−ueu) du\int \left(4 u e^{2 u} - u e^{u}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4ue2u du=4∫ue2u du\int 4 u e^{2 u}\, du = 4 \int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: 2ue2u−e2u2 u e^{2 u} - e^{2 u}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−ueu) du=−∫ueu du\int \left(- u e^{u}\right)\, du = - \int u e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −ueu+eu- u e^{u} + e^{u}

        El resultado es: 2ue2u−ueu−e2u+eu2 u e^{2 u} - u e^{u} - e^{2 u} + e^{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2x2log⁡(x)−x2−xlog⁡(x)+x2 x^{2} \log{\left(x \right)} - x^{2} - x \log{\left(x \right)} + x

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x−1)log⁡(x)=4xlog⁡(x)−log⁡(x)\left(4 x - 1\right) \log{\left(x \right)} = 4 x \log{\left(x \right)} - \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xlog⁡(x) dx=4∫xlog⁡(x) dx\int 4 x \log{\left(x \right)}\, dx = 4 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x2log⁡(x)−x22 x^{2} \log{\left(x \right)} - x^{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−log⁡(x)) dx=−∫log⁡(x) dx\int \left(- \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: −xlog⁡(x)+x- x \log{\left(x \right)} + x

      El resultado es: 2x2log⁡(x)−x2−xlog⁡(x)+x2 x^{2} \log{\left(x \right)} - x^{2} - x \log{\left(x \right)} + x

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=4x−1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 4 x - 1.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4x dx=4∫x dx\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 2x22 x^{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

        El resultado es: 2x2−x2 x^{2} - x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

      ∫(2u+1) du\int \left(2 u + 1\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2u du=2∫u du\int 2 u\, du = 2 \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: u2u^{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 du=u\int 1\, du = u

        El resultado es: u2+uu^{2} + u

      Si ahora sustituir uu más en:

      x2−xx^{2} - x

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x−1)log⁡(x)=4xlog⁡(x)−log⁡(x)\left(4 x - 1\right) \log{\left(x \right)} = 4 x \log{\left(x \right)} - \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xlog⁡(x) dx=4∫xlog⁡(x) dx\int 4 x \log{\left(x \right)}\, dx = 4 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x2log⁡(x)−x22 x^{2} \log{\left(x \right)} - x^{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−log⁡(x)) dx=−∫log⁡(x) dx\int \left(- \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: −xlog⁡(x)+x- x \log{\left(x \right)} + x

      El resultado es: 2x2log⁡(x)−x2−xlog⁡(x)+x2 x^{2} \log{\left(x \right)} - x^{2} - x \log{\left(x \right)} + x

  2. Ahora simplificar:

    x(2xlog⁡(x)−x−log⁡(x)+1)x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x - \log{\left(x \right)} + 1\right)

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(2xlog⁡(x)−x−log⁡(x)+1)+constantx \left(2 x \log{\left(x \right)} - x - \log{\left(x \right)} + 1\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x(2xlog⁡(x)−x−log⁡(x)+1)+constantx \left(2 x \log{\left(x \right)} - x - \log{\left(x \right)} + 1\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                         
 |                                2                 2       
 | (4*x - 1)*log(x) dx = C + x - x  - x*log(x) + 2*x *log(x)
 |                                                          
/
∫(4x−1)log⁡(x) dx=C+2x2log⁡(x)−x2−xlog⁡(x)+x\int \left(4 x - 1\right) \log{\left(x \right)}\, dx = C + 2 x^{2} \log{\left(x \right)} - x^{2} - x \log{\left(x \right)} + x
Simplificar
Gráfica
0.02.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-2 + 6*log(2)
−2+6log⁡(2)-2 + 6 \log{\left(2 \right)} 
=
= 
-2 + 6*log(2)
−2+6log⁡(2)-2 + 6 \log{\left(2 \right)} 
-2 + 6*log(2)
Respuesta numérica [src] 
2.15888308335967
2.15888308335967

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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