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Resolución de integrales/ sin2x/ cos2x/ x+sinx/ 3sin2xdxcos2x−cos2x+sinx

Integral de 3sin2xdxcos2x−cos2x+sinx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                             
  /                                             
 |                                              
 |  (3*sin(2*x)*cos(2*x) - cos(2*x) + sin(x)) dx
 |                                              
/                                               
0
∫01((3sin⁡(2x)cos⁡(2x)−cos⁡(2x))+sin⁡(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\left(3 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral((3*sin(2*x))*cos(2*x) - cos(2*x) + sin(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Integramos término a término:

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

          Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos 3du2\frac{3 du}{2}:

          ∫3u2 du\int \frac{3 u}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=3∫u du2\int u\, du = \frac{3 \int u\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: 3u24\frac{3 u^{2}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          3sin⁡2(2x)4\frac{3 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{4}

        Método #2

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫6sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x) dx=6∫sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x) dx\int 6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 6 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡3(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2sin⁡(x)cos⁡3(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡3(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx

              1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                ∫(−u3) du\int \left(- u^{3}\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u3 du=−∫u3 du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡4(x)4- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡4(x)2- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−sin⁡(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

              1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: cos⁡2(x)2\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

            El resultado es: −cos⁡4(x)2+cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡4(x)+3cos⁡2(x)- 3 \cos^{4}{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(2x)) dx=−∫cos⁡(2x) dx\int \left(- \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)2- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      El resultado es: 3sin⁡2(2x)4−sin⁡(2x)2\frac{3 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

    1. La integral del seno es un coseno menos:

      ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

    El resultado es: 3sin⁡2(2x)4−sin⁡(2x)2−cos⁡(x)\frac{3 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    3sin⁡2(2x)4−sin⁡(2x)2−cos⁡(x)+constant\frac{3 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3sin⁡2(2x)4−sin⁡(2x)2−cos⁡(x)+constant\frac{3 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                            2     
 |                                                             sin(2*x)   3*sin (2*x)
 | (3*sin(2*x)*cos(2*x) - cos(2*x) + sin(x)) dx = C - cos(x) - -------- + -----------
 |                                                                2            4     
/
∫((3sin⁡(2x)cos⁡(2x)−cos⁡(2x))+sin⁡(x)) dx=C+3sin⁡2(2x)4−sin⁡(2x)2−cos⁡(x)\int \left(\left(3 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = C + \frac{3 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902.5-2.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                           2   
             sin(2)   3*sin (2)
1 - cos(1) - ------ + ---------
               2          4
−cos⁡(1)−sin⁡(2)2+3sin⁡2(2)4+1- \cos{\left(1 \right)} - \frac{\sin{\left(2 \right)}}{2} + \frac{3 \sin^{2}{\left(2 \right)}}{4} + 1 
=
= 
                           2   
             sin(2)   3*sin (2)
1 - cos(1) - ------ + ---------
               2          4
−cos⁡(1)−sin⁡(2)2+3sin⁡2(2)4+1- \cos{\left(1 \right)} - \frac{\sin{\left(2 \right)}}{2} + \frac{3 \sin^{2}{\left(2 \right)}}{4} + 1 
1 - cos(1) - sin(2)/2 + 3*sin(2)^2/4
Respuesta numérica [src] 
0.625165338542874
0.625165338542874

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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